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1. Graphen gebrochen rationaler Funktionen
1.1 Verhalten in der Umgebung von Definitionslücken
Es gibt zwei Arten von Definitionslücken:
- Polstellen (--> senkrechte Asymptoten)
- Stetig hebbare Definitionslücken (--> "Loch" im Graphen)
1.2 Verhalten im Unendlichen
2. Einführung in die Differentialrechnung
2.1 Der Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate)
Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte des Graphen P(a|f(a)) und Q(b|f(b)).
2.2 Der Differentialquotient (lokale Änderungsrate)
Die Steigung des Graphen von f im Punkt P(x0|f(x0)) ist dieser Differentialquotient.
2.3 Die Ableitung
Bemerkung: h-Methode
Summenregel
Faktorregel
Produktregel
Quotientenregel
2.4 Stammfunktion
3. Anwendungen der Ableitung
3.1 Monotonie
3.2 Extrema (Extremstellen, Extremwerte)
3.3 Das Newton-Verfahren: Ein Iterationsverfahren zur Nullstellen-Bestimmung
Manchmal lassen sich die Nullstellen einer Funktion
nicht durch einfaches Lösen der Gleichung
finden.
Dann kann man mit Hilfe von numerischen Verfahren wenigstens einen Näherungswert für die Nullstellen ermitteln.
Solch ein Verfahren ist das Newton-Verfahren:
Hat eine differenzierbare Funktion
eine Nullstelle, so kann man diese näherungsweise mit der Iteration
|
ermitteln. Dabei geht man von einem geeigneten Startwert
aus.
ABER: Das Newton-Verfahren ist zwar für jede differenzierbare Funktion anwendbar, führt aber nicht immer zum Erfolg!
Newtonverfahren von xhochnde bei YouTube.com
Newton-Verfahren von Hannes Mitterlehner bei GeoGebra
Der Newton-Algorithmus zur Approximation von Nullstellen bei arndt-bruenner.de
4. GEOMETRIE: Koordinatengeometrie im Raum
4.1 Das dreidimensionale Koordinatensystem
Zeichnen im 3D-Koordinatensystem bei Serlo Mathematik de.serlo.org
(Siehe auch 3D-Koordinatensystem von Dr. Marie-Luise Herrmann bei GeoGebra)
4.2 Grundlagen der Vektorrechnung
In der Physik verwenden wir skalare Größen (Skalare), die durch die Angabe einer Maßzahl und einer Maßeinheit vollständig bestimmt sind (z.B. Masse
, Zeit
, Temperatur
, Energie
, ...).
Es gibt aber auch gerichtete Größen (Vektoren), die noch dazu auch die Angabe einer Richtung benötigen (z.B. Kraft
, Geschwindigkeit
, Impuls
, Beschleunigung
, ...).
Wir betrachten eine Verschiebung:
Für den Verschiebungspfeil
gilt:
Definition:
Die unendliche Menge aller Pfeile einer Verschiebung heißt Vektor. Ein einzelner Verschiebungspfeil daraus heißt Repräsentant des Vektors.
Ein Vektor wird bestimmt durch seine Richtung und seinen Betrag (entspricht der Länge des Vektorpfeils).
- Vektoren im Koordinatensystem
Sei
mit
und
mit
und
mit
.
Koordinatendarstellung eines Vektors (2-dimensional):
Betrag
Betrag
Betrag
(Prinzip:"Spitze minus Fuß", die Koordinaten des Punktes an der Spitze werden zeilenweise von den Koordinaten des Fußpunktes subtrahiert.)
Allgemein:
Betrag
|
Im 3-dimensionalen Fall ist die Koordinatendarstellung eines Vektors ein 3-Tupel:
Betrag
|
Beispiel: Vektor
bestimmt durch die Punkte
und
Die Verkettung zweier Verschiebungen mit den Vektoren
und
ist wieder eine Verschiebung, deren Vektor der Summenvektor
ist:
Die Vektoraddition ist kommutativ, das heißt
.
Sie ist ebenfalls assoziativ:
.
Koordinatendarstellung:
|
(Siehe auch Vektoraddition von Thorsten Glaser bei GeoGebra)
Koordinatendarstellung:
|
(Siehe auch Subtraktion 3D von Werth bei GeoGebra)
Die Verschiebung mit den Vektoren
wird durch die Verschiebung mit dem Gegenvektor
rückgängig gemacht.
Koordinatendarstellung:
|
Die Subtraktion zweier Vektoren kann auch als Addition des Gegenvektors interpretiert werden:
.
Die identische Abbildung (keine Verschiebung) hat den Verschiebungsvektor
.
Der Nullvektor hat die Länge null, seine Richtung ist unbestimmt.
Koordinatendarstellung:
|
- Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, parallele Vektoren
Koordinatendarstellung:
|
(Siehe auch Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar von lauragroessinger bei GeoGebra)
Eine mehrgliedrige Summe von Vektoren mit dem Summenvektor
heißt geschlossene Vektorkette. Bei Aufgaben bevorzugt man oft solche geschlossenen Vektorketten.
Zu jedem Punkt
im Koordinatensystem gibt es einen Pfeil, der im Ursprung
beginnt und in
endet. Dieser Pfeil legt eindeutig einen Vektor
fest, den man auch Ortsvektor des Punktes
nennt (Schreibweise:
).
Koordinatendarstellung:
Ortsvektor
|
- Mittelpunkt einer Strecke
Gegeben sei eine Strecke
zwischen den Punkten
und
mit den Ortsvektoren
und
.
Dann gilt:
Ortsvektor des Mittelpunktes
|
4.3 Betrag von Vektoren, Länge von Strecken
Die Länge eines Vektors
heißt auch Betrag von
:
(Siehe auch Betrag eines Vektors 3D von JSmh bei geogebra.org)
Die Länge einer Strecke
ist:
.
Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren, zum Beispiel
oder
.
Den Einheitsvektor in die Richtung eines bestimmten vorgegebenen Vektors
bezeichnet man mit
.
|
Beispiele: In Richtung von
ist der Einheitsvektor
und in Richtung von
ist der Einheitsvektor
.
4.4 Skalarprodukt von Vektoren, Winkelberechnungen
Die Zahl
|
heißt Skalarprodukt der Vektoren
und
.
(Zur Herleitung siehe Skalarprodukt Herleitung und Anwendung by Lernen & Wissen bei YouTube.com)
Es gilt:
|
wobei
der Zwischenwinkel der Vektoren
und
ist.
Also gilt für den Zwischenwinkel
zweier beliebiger Vektoren
und
:
|
Mit dem Skalarprodukt kann man Winkel zwischen Vektoren berechnen und insbesondere überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander sind:
|
4.5 Das Vektorprodukt
Der Vektor
|
heißt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Vektoren
und
.
ist orthogonal zu
und zu
.
(1) Es gilt:
|
wobei
der Zwischenwinkel der Vektoren
und
ist.
(2) Flächeninhalt des Dreiecks
:
|
(3) Flächeninhalt des von
und
aufgespannten Parallelogramms
:
|
(4) Volumen der von
und
aufgespannten Pyramide
:
|
(5) Volumen des von
und
aufgespannten Parallelspats
:
|
4.6 Kugeln im dreidimensionalen Koordinatensystem
Eine Kugel
ist die Menge aller Punkte
im Raum, die von einem festen Punkt
den gleichen Abstand
haben.
Eine Kugel
mit Mittelpunkt
und dem Radius
wird beschrieben durch die Kugelgleichung:
|
[(Siehe auch Kugel von Christian Barthel bei GeoGebra)
5. Differentialrechnung: Weitere Ableitungsregeln
5.1 Die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktionen
(Siehe zur Wiederholung zuerst Winkelfunktion von Kurt Söser bei GeoGebra)
|
|
|
Die Ableitung vom Sinus ist der Kosinus (Mathe-Song) vom DorFuchs bei youtube.com
Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente und der Normalen an den Graphen von
im Punkt
Lösung:
Ansatz Tangente:
Also hier:
Es ergibt sich:
Die gesuchte Tangentengleichung lautet:
Ansatz Normale:
(für die Steigungen
und
zweier aufeinander senkrecht stehender Geraden gilt:
!)
Also hier:
Es ergibt sich:
Die gesuchte Normalengleichung lautet:
(zum Thema Normale siehe auch: Normale | Erklärung, Beispiel und Tipps by einfach mathe!)
5.2 Umkehrfunktion / Umkehrbarkeit von Funktionen
(Siehe auch Buch S. 130 und S. 131)
(Siehe zur Wiederholung zuerst das Video Was ist eine Funktion? von Videolernen bei YouTube.com)
- Frage: Was ist eine Funktion? Antwort: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.
Wir kennen aus der Mathematik bereits Umkehroperationen (Addition <--> Subtraktion, Multiplikation <--> Division, ...) und aus dem Alltag zueinander umgekehrte Vorgänge (Einpacken <--> Auspacken, Vorwärts <--> Rückwärts, ...).
Ebenso kann man bei einer Funktion die umgekehrte Zuordnung betrachten.
Allerdings führt das nicht immer zu einer eindeutigen Umkehrfunktion, da die umgekehrte Zuordnung nicht immer eindeutig ist!
Beispiel: Jedem der 30 Schüler einer Klasse wird bei einer Schulaufgabe eindeutig eine Note zugeordnet. Während diese Zuordnung eine Funktion ist, ist die umgekehrte Zuordnung keine Funktion, da nicht jeder Note eindeutig ein Schüler zugeordnet werden kann.
Deswegen:
Definition Umkehrbarkeit:
Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn auch die umgekehrte Zuordnung wieder eindeutig ist.
|
- Betrachte eine Funktion
mit der Zuordnungsvorschrift
.
Dann ist die Umkehrfunktion
mit der Zuordnungsvorschrift
.
- Graphisch bekommt man die Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten im Koordinatensystem spiegelt.
(Siehe ACHTAU - ACHsen TAUschen: Graph der Umkehrfunktion von Jürgen Roth bei GeoGebra)
- Rechnerisch bestimmt man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion folgendermaßen:
(1) Auflösen der Funktionsgleichung
nach
;
(2) Vertauschen von
und
;
(3) Funktionsgleichung der Umkehrfunktion damit aufstellen; Es gilt:
Kriterium für die Umkehrbarkeit einer Funktion:
Eine streng monotone Funktion ist umkehrbar.
|
Falls es bei einer Funktion zu einem y-Wert mehrere zugehörige x-Werte gibt, so ist die Funktion also nicht umkehrbar!
Zeigen Sie, dass
mit
umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion!
Lösung:
für alle
;
Also ist
streng monoton fallend und somit umkehrbar.
Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion:
;
Nach Vertauschen von
und
ergibt sich:
, also
;
Betrachtung der Definitions- und Wertemengen:
, für die Umkehrfunktion:
Zeigen Sie, dass
mit
umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion!
Lösung:
für alle
;
Also ist
streng monoton steigend und somit umkehrbar.
;
Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion:
;
Nach Vertauschen von
und
ergibt sich:
, also
;
Das Minuszeichen vor der Wurzel wird genommen, da die Werte der Umkehrfunktion negativ oder null sind:
.
;
5.3 Ableitung verketteter Funktionen / die Kettenregel
(Siehe auch Buch S. 136 und S. 137)
Manche Funktionsterme sind durch "Verschachtelung" verschiedener Funktionen entstanden. Man nennt solche Fuktionen verkettete Funktionen, da sie aus einfacheren Funktionen durch Verkettung entstehen.
- Beispiele:
,
oder
.
Kettenregel:
Sei eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen und . Dann ist auch differenzierbar und es gilt:
|
Das Bilden des Faktors
nennt man auch Nachdifferenzieren.
Tipp: Bei Anwendung der Kettenregel sollte man sich die Terme "verschachtelt" denken und beim Ableiten wie beim Auspacken vorgehen: Von außen nach innen schrittweise. Und bei jedem Schritt muss man einmal nachdifferenzieren.
(Nur Quotientenregel)
(In der Quotientenregel muss man hier nachdifferenzieren!)
(Zweimal nachdifferenzieren!)
(Achtung! Es wird nach t differenziert!)
Die Kettenregel - Ableitung mit der Kettenregel Differenzialrechnung Flip the Classroom bei youtube.com
5.5 Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten
(Siehe auch Buch S. 139 und S. 140)
Wir wollen nun auch Potenzfunktionen mit Brüchen im Exponenten ableiten. Dazu gilt folgende Regel:
Sei . Dann ist:
|
3 einfache Beispiele im Video Ableitungsfunktion bestimmen bei Brüchen im Exponenten (formelfabrik.de) bei youtube.com
6. Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen
Zum Einstieg arbeite durch: Thema Exponentialfunktionen bei BR alpha Lernen
6.1 Die natürliche Exponentialfunktion
Untersucht man die Ableitungen der Exponentialfunktionen
näher, so fällt auf, dass es eine darunter geben muss, die "sich selbst als Ableitung" hat:
Die natürliche Exponentialfunktion hat die Ableitung und als eine mögliche Stammfunktion .
|
Die Zahl
heißt Eulersche Zahl und ist wie
oder
eine irrationale Zahl. Es gilt
.
Eulersche Zahl bei Wikipedia
- Eigenschaften der e-Funktion
![{\displaystyle f(x)=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd65bb8c6bd27613de9dac411434bc434dcac468)
Definitionsmenge:
, Wertemenge:
Der Graph der e-Funktion ist streng monoton steigend.
|
|
Für geht
|
Funktionalgleichungen (Potenzgesetze):
|
|
|
Da die ln-Funktion die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist, gilt:
|
Video Die e-Funktion und ihre Ableitung von Flip the Classroom bei youtube.com
Grundwissen zur natürlichen Exponentialfunktion bei strobl-f.de
Übungsaufgaben zur e-Funktion bei strobl-f.de
6.2 Die natürliche Logarithmusfunktion
Zur Wiederholung siehe folgende drei Lernvideos:
Logarithmus bei unterricht.de
Logarithmenregeln bei unterricht.de
Logarithmus im Exponenten bei unterricht.de
Definition:
Sie ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion.
- Eigenschaften der ln-Funktion
Definitionsmenge:
, Wertemenge:
Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.
|
|
Für geht
|
Für geht
|
Funktionalgleichungen (Logarithmengesetze):
|
|
|
Da die ln-Funktion die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist, gilt:
|
Ableitung der ln-Funktion:
|
Stammfunktion der ln-Funktion:
|
Grundwissen zur natürlichen Logarithmusfunktion bei strobl-f.de
Übungsaufgaben zur ln-Funktion bei strobl-f.de
Natürliche Logarithmusfunktion - Log Naturalis von StrandMathe bei YouTube.com
7. STOCHASTIK: Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit
Zum Einstieg wiederhole:
Grundwissen 8. Klasse zu Wahrscheinlichkeiten, Laplace-Experimente bei strobl-f.de
Grundwissen 9. Klasse zu mehrstufigen Zufallsexperimenten bei strobl-f.de
Grundwissen 10. Klasse zur bedingten Wahrscheinlichkeit bei strobl-f.de
In der Stochastik wird anhand einer realen Situation ein mathematisches Modell entwickelt, mit dem man Berechnungen durchführen kann und dessen Ergebnis dann in der Realität eine Bedeutung im Hinblick auf die reale Situation hat.
(Siehe dazu Beispiel "Pyramide liegt auf einer Seitenfläche" im Modellierungskreislauf im Buch S. 175)
7.1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit
Ausgehend von wenigen, grundlegenden Aussagen bzw. Festlegungen ("Axoime"), kann man die Wahrscheinlichkeitsrechnung lückenlos formulieren und komplett beweisen.
Der russische Mathematiker Kolmogorow hat so ein Axiomensystem zur Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs aufgestellt:
Sei eine (Ergebnis-) Menge und eine Teilmenge (Ereignis) davon.
Dann heißt eine Funktion
Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgende Axoime erfüllt:
(I) (Nicht-Negativität)
(II) (Normiertheit)
(III) Für gilt: (Additivität)
|
heißt Wahrscheinlichkeit vom Ereignis
.
wird auch Wahrscheinlichkeitsraum genannt.
Video Q11 - Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogoroff von MatheEasyGoing bei youtube.com
7.2 Der Ereignisraum
Siehe Der Ereignisraum - eine Übersicht zur Ereignis-Algebra
7.3 Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen
Zum Einstieg ein Lernvideo: Additionssatz und Vierfeldertafel - Mathe - SchullV bei YouTube.com
Für beliebige Ereignisse
gilt der Additionssatz:
|
Oder umgestellt:
Für zwei unvereinbare (disjunkte) Ereignisse
(für die
gilt), ist also:
.
7.4 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen
Hat (1) das Eintreten von Ereignis
keinen Einfluss auf das Eintreten von Ereignis
und umgekehrt
das (2) Eintreten von Ereignis
keinen Einfluss auf das Eintreten von Ereignis
,
so sind beide Ereignisse (stochastisch) unabhängig.
Oder mathematisch kurz formuliert:
Ist (1)
und (2)
,
so sind beide Ereignisse
(stochastisch) unabhängig.
Aus (1) und (2) ergibt sich folgende
Definition stochastische Unabhängigkeit:
Zwei Ereignisse heißen (stochatisch) unabhängig, wenn
gilt.
Andernfalls heißen die beiden Ereignisse (stochastisch) abhängig voneinander.
|
Zum besseren Verständnis ein Lernvideo: Ereignisse auf stochastische Abhängigkeit prüfen von Mathehoch13 bei YouTube.com
8. Anwendungen der Differentialrechnung
Zur Übung empfehlenswert: Abituraufgaben Bayern 2020, 2019 und 2018, jeweils Teil B Analysis (soweit mit dem Stoff der Q11 lösbar).
Diese Aufgaben mit Lösung finden sich zum Beispiel bei abiturloesung.de.
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