SchulheftM11

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1. Graphen gebrochen rationaler Funktionen

1.1 Verhalten in der Umgebung von Definitionslücken

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken:

  • Polstellen (--> senkrechte Asymptoten)
  • Stetig hebbare Definitionslücken (--> "Loch" im Graphen)

1.2 Verhalten im Unendlichen

2. Einführung in die Differentialrechnung

2.1 Der Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate)

Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte des Graphen P(a|f(a)) und Q(b|f(b)).

2.2 Der Differentialquotient (lokale Änderungsrate)

Die Steigung des Graphen von f im Punkt P(x0|f(x0)) ist dieser Differentialquotient.

2.3 Die Ableitung

Bemerkung: h-Methode

Summenregel

Faktorregel

Produktregel

Quotientenregel

2.4 Stammfunktion

3. Anwendungen der Ableitung

3.1 Monotonie

3.2 Extrema (Extremstellen, Extremwerte)

3.3 Das Newton-Verfahren

4. GEOMETRIE: Koordinatengeometrie im Raum

4.1 Das dreidimensionale Koordinatensystem

4.2 Grundlagen der Vektorrechnung

  • Der Vektorbegriff
  • Vektoren im Koordinatensystem
  • Addition und Subtraktion von Vektoren
  • Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl
  • Ortsvektoren

4.3 Betrag von Vektoren, Länge von Strecken

4.4 Skalarprodukt von Vektoren, Winkelberechnungen

4.5 Das Vektorprodukt

4.6 Kreise und Kugeln

5. Differentialrechnung: Weitere Ableitungsregeln

5.1 Die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktionen

(Siehe zur Wiederholung zuerst Winkelfunktion von Kurt Söser bei GeoGebra)

Die Ableitung vom Sinus ist der Kosinus (Mathe-Song) vom DorFuchs bei youtube.com


  • Aufgabenbeispiel:

Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente und der Normalen an den Graphen von im Punkt

Lösung:

Ansatz Tangente:

Also hier: Es ergibt sich:

Die gesuchte Tangentengleichung lautet:

Ansatz Normale: (für die Steigungen und zweier aufeinander senkrecht stehender Geraden gilt:  !)

Also hier: Es ergibt sich:

Die gesuchte Normalengleichung lautet:

(zum Thema Normale siehe auch: Normale | Erklärung, Beispiel und Tipps by einfach mathe!)


5.2 Umkehrfunktion / Umkehrbarkeit von Funktionen

(Siehe auch Buch S. 130 und S. 131)

(Siehe zur Wiederholung zuerst das Video Was ist eine Funktion? von Videolernen bei YouTube.com)

  • Frage: Was ist eine Funktion? Antwort: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

Wir kennen aus der Mathematik bereits Umkehroperationen (Addition <--> Subtraktion, Multiplikation <--> Division, ...) und aus dem Alltag zueinander umgekehrte Vorgänge (Einpacken <--> Auspacken, Vorwärts <--> Rückwärts, ...).

Ebenso kann man bei einer Funktion die umgekehrte Zuordnung betrachten.

Allerdings führt das nicht immer zu einer eindeutigen Umkehrfunktion, da die umgekehrte Zuordnung nicht immer eindeutig ist!

Beispiel: Jedem der 30 Schüler einer Klasse wird bei einer Schulaufgabe eindeutig eine Note zugeordnet. Während diese Zuordnung eine Funktion ist, ist die umgekehrte Zuordnung keine Funktion, da nicht jeder Note eindeutig ein Schüler zugeordnet werden kann.

Deswegen:

Definition Umkehrbarkeit:

Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn auch die umgekehrte Zuordnung wieder eindeutig ist.


  • Betrachte eine Funktion mit der Zuordnungsvorschrift .

Dann ist die Umkehrfunktion mit der Zuordnungsvorschrift .

Umkehrfunktionlinear.png

  • Graphisch bekommt man die Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten im Koordinatensystem spiegelt.

(Siehe ACHTAU - ACHsen TAUschen: Graph der Umkehrfunktion von Jürgen Roth bei GeoGebra)

  • Rechnerisch bestimmt man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion folgendermaßen:

(1) Auflösen der Funktionsgleichung nach ;

(2) Vertauschen von und ;

(3) Funktionsgleichung der Umkehrfunktion damit aufstellen; Es gilt:


Kriterium für die Umkehrbarkeit einer Funktion:

Eine streng monotone Funktion ist umkehrbar.

Falls es bei einer Funktion zu einem y-Wert mehrere zugehörige x-Werte gibt, so ist die Funktion also nicht umkehrbar!

Umkehrbarkeit.jpg


  • Aufgabenbeispiel 1:

Zeigen Sie, dass mit umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion!

Lösung:

für alle ;

Also ist streng monoton fallend und somit umkehrbar.

Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion:

;

Nach Vertauschen von und ergibt sich: , also ;

S132nr3d.png

Betrachtung der Definitions- und Wertemengen: , für die Umkehrfunktion:


  • Aufgabenbeispiel 2:

Zeigen Sie, dass mit umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion!

Lösung:

für alle ;

Also ist streng monoton steigend und somit umkehrbar.

;

Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion:

;

Nach Vertauschen von und ergibt sich: , also ;

Das Minuszeichen vor der Wurzel wird genommen, da die Werte der Umkehrfunktion negativ oder null sind: .

;


S132nr4a.png


5.3 Ableitung verketteter Funktionen / die Kettenregel

(Siehe auch Buch S. 136 und S. 137)

Manche Funktionsterme sind durch "Verschachtelung" verschiedener Funktionen entstanden. Man nennt solche Fuktionen verkettete Funktionen, da sie aus einfacheren Funktionen durch Verkettung entstehen.

  • Beispiele: , oder .

Kettenregel:

Sei eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen und . Dann ist auch differenzierbar und es gilt:

Das Bilden des Faktors nennt man auch Nachdifferenzieren.

Tipp: Bei Anwendung der Kettenregel sollte man sich die Terme "verschachtelt" denken und beim Ableiten wie beim Auspacken vorgehen: Von außen nach innen schrittweise. Und bei jedem Schritt muss man einmal nachdifferenzieren.

  • In unseren Beispielen:

  • Weitere Beispiele:

(Nur Quotientenregel)

(In der Quotientenregel muss man hier nachdifferenzieren!)

(Zweimal nachdifferenzieren!)

(Achtung! Es wird nach t differenziert!)


Die Kettenregel - Ableitung mit der Kettenregel Differenzialrechnung Flip the Classroom bei youtube.com


5.5 Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

(Siehe auch Buch S. 139 und S. 140)

Wir wollen nun auch Potenzfunktionen mit Brüchen im Exponenten ableiten. Dazu gilt folgende Regel:

Sei . Dann ist:
  • Beispiele:

3 einfache Beispiele im Video Ableitungsfunktion bestimmen bei Brüchen im Exponenten (formelfabrik.de) bei youtube.com


6. Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen

Zum Einstieg arbeite durch: Thema Exponentialfunktionen bei BR alpha Lernen


6.1 Die natürliche Exponentialfunktion

Efkt.png

Untersucht man die Ableitungen der Exponentialfunktionen näher, so fällt auf, dass es eine darunter geben muss, die "sich selbst als Ableitung" hat:

Die natürliche Exponentialfunktion hat die Ableitung und als eine mögliche Stammfunktion .

Die Zahl heißt Eulersche Zahl und ist wie oder eine irrationale Zahl. Es gilt .

Eulersche Zahl bei Wikipedia


  • Eigenschaften der e-Funktion

Definitionsmenge: , Wertemenge:

Der Graph der e-Funktion ist streng monoton steigend.

Für geht

Funktionalgleichungen (Potenzgesetze):

Da die ln-Funktion die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist, gilt:


Video Die e-Funktion und ihre Ableitung von Flip the Classroom bei youtube.com

Grundwissen zur natürlichen Exponentialfunktion bei strobl-f.de

Übungsaufgaben zur e-Funktion bei strobl-f.de


6.2 Die natürliche Logarithmusfunktion

Zur Wiederholung siehe folgende drei Lernvideos:

Logarithmus bei unterricht.de

Logarithmenregeln bei unterricht.de

Logarithmus im Exponenten bei unterricht.de

Lnfkt.png

Definition:

Die Logarithmusfunktion zur Basis heißt natürliche Logarithmusfunktion.

mit ;

Sie ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion.

  • Eigenschaften der ln-Funktion

Definitionsmenge: , Wertemenge:

Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.

Für geht Für geht

Funktionalgleichungen (Logarithmengesetze):

Da die ln-Funktion die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist, gilt:

Ableitung der ln-Funktion:

Stammfunktion der ln-Funktion:


Grundwissen zur natürlichen Logarithmusfunktion bei strobl-f.de

Übungsaufgaben zur ln-Funktion bei strobl-f.de

Natürliche Logarithmusfunktion - Log Naturalis von StrandMathe bei YouTube.com


7. STOCHASTIK: Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Zum Einstieg wiederhole:

Grundwissen 8. Klasse zu Wahrscheinlichkeiten, Laplace-Experimente bei strobl-f.de

Grundwissen 9. Klasse zu mehrstufigen Zufallsexperimenten bei strobl-f.de

Grundwissen 10. Klasse zur bedingten Wahrscheinlichkeit bei strobl-f.de

In der Stochastik wird anhand einer realen Situation ein mathematisches Modell entwickelt, mit dem man Berechnungen durchführen kann und dessen Ergebnis dann in der Realität eine Bedeutung im Hinblick auf die reale Situation hat.

(Siehe dazu Beispiel "Pyramide liegt auf einer Seitenfläche" im Modellierungskreislauf im Buch S. 175)


7.1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit

Ausgehend von wenigen, grundlegenden Aussagen bzw. Festlegungen ("Axoime"), kann man die Wahrscheinlichkeitsrechnung lückenlos formulieren und komplett beweisen.

Der russische Mathematiker Kolmogorow hat so ein Axiomensystem zur Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs aufgestellt:

Sei eine (Ergebnis-) Menge und eine Teilmenge (Ereignis) davon.

Dann heißt eine Funktion

Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgende Axoime erfüllt:

(I) (Nicht-Negativität)

(II) (Normiertheit)

(III) Für gilt: (Additivität)

heißt Wahrscheinlichkeit vom Ereignis .

wird auch Wahrscheinlichkeitsraum genannt.


Video Q11 - Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogoroff von MatheEasyGoing bei youtube.com


7.2 Der Ereignisraum

Siehe Der Ereignisraum - eine Übersicht zur Ereignis-Algebra


7.3 Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen

Zum Einstieg ein Lernvideo: Additionssatz und Vierfeldertafel - Mathe - SchullV bei YouTube.com

Ereignisseab.jpg

Für beliebige Ereignisse gilt der Additionssatz:

Oder umgestellt:

Für zwei unvereinbare (disjunkte) Ereignisse (für die gilt), ist also: .


7.4 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen

Hat (1) das Eintreten von Ereignis keinen Einfluss auf das Eintreten von Ereignis

und umgekehrt

das (2) Eintreten von Ereignis keinen Einfluss auf das Eintreten von Ereignis ,

so sind beide Ereignisse (stochastisch) unabhängig.

Oder mathematisch kurz formuliert:

Ist (1)

und (2) ,

so sind beide Ereignisse (stochastisch) unabhängig.

Aus (1) und (2) ergibt sich folgende

Definition stochastische Unabhängigkeit:

Zwei Ereignisse heißen (stochatisch) unabhängig, wenn

gilt.

Andernfalls heißen die beiden Ereignisse (stochastisch) abhängig voneinander.


Zum besseren Verständnis ein Lernvideo: Ereignisse auf stochastische Abhängigkeit prüfen von Mathehoch13 bei YouTube.com

8. Anwendungen der Differentialrechnung


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