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Inhaltsverzeichnis

Grundwissen Mathematik 5. Klasse

GWM 5.1 Zahlenmengen

\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, ...\} Menge der natürlichen Zahlen

\mathbb{N}_{0} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...\} Menge der natürlichen Zahlen mit Null

\mathbb{Z} = \{... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ...\} Menge der ganzen Zahlen

Primzahlen: Eine Zahl die genau zwei Teiler hat, heißt Primzahl.

Menge der Primzahlen  = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, \

 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, ... \} \

Primfaktorzerlegung: Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.

Beispiel: 60 = 2\cdot 30 = 2\cdot 2\cdot 15 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 2^{2}\cdot 3\cdot 5

Menge der Quadratzahlen  = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, \

 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, ... \} \

Römische Zahlen: I = 1 ;\ V = 5 ;\ X = 10 ;\ L = 50;\ C = 100;\ D = 500;\ M = 1000

 I,\ X,\ C,\ M dürfen bis zu dreimal nacheinander stehen.  I,\ X,\ C werden beim Voranstellen einmal abgezogen.

Beispiel:  MCMXCIV = 1994;\ MMMDCCCLXXXVIII = 3888

GWM 5.2 Fachbegriffe beim Rechnen

Addition:

 \begin{matrix} 171 & + & 19 & = & 190 \\
 {\rm 1.\ Summand} & + & {\rm 2.\ Summand} & = & {\rm Wert\ der\ Summe} \end{matrix}

Subtraktion:

 \begin{matrix} 190 & - & 19 & = & 171 \\
 {\rm Minuend} & - & {\rm Subtrahend} & = & {\rm Wert\ der\ Differenz} \end{matrix}

Multiplikation:

 \begin{matrix} 125 & \cdot & 8 & = & 1000 \\
 {\rm 1.\ Faktor} & \cdot & {\rm 2.\ Faktor} & = & {\rm Wert\ des\ Produkts} \end{matrix}

Division:

 \begin{matrix} 1000 & : & 8 & = & 125 \\
 {\rm Dividend} & : & {\rm Divisor} & = & {\rm Wert\ des\ Quotienten} \end{matrix}

GWM 5.3 Potenzen

Potenz:  a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^{6}

Beispiel:  4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{7}

Merke:  2^{3} = 8 \ aber  2 \cdot 3 = 6

Potenz:

 \begin{matrix} 3^{5} & = & 243 \\ 
 {\rm Basis}^{\rm Exponent} & = & {\rm Wert\ der\ Potenz} \end{matrix}

GWM 5.4 Rechengesetze und die Bedeutung der Null

Reihenfolge: „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich!“

Was noch nicht zum Rechnen dran ist, schreibt man unverändert an!

Kommutativgesetz:

 a \cdot b = b \cdot a \qquad 5 \cdot 3 = 3 \cdot 5

 a + b = b + a \qquad 5 + 3 = 3 + 5

Assoziativgesetz:

 (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c \qquad (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 3 + 5

 (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c \qquad (2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5

Distributivgesetz:

 a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad 2 \cdot (5+3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3

 a \cdot (b-c) = a \cdot b - a \cdot c \qquad 2 \cdot (5-3) = 2 \cdot 5 - 2 \cdot 3

 (a+b) : c  = a : c + b : c \qquad (170+51) : 17 =  170 : 17 + 51 : 17

 (a-b) : c  = a : c - b : c \qquad (170-51) : 17 =  170 : 17 - 51 : 17

Null bei der Multiplikation:

Ist ein Faktor Null, so ist auch der Produktwert Null.  3 \cdot 0 = 0 \cdot 3 = 0

Ist der Produktwert Null, so muss mindestens ein Faktor Null sein!

Aus  a \cdot b = 0 folgt:  a = 0 \ oder  \ b = 0 .

Null bei der Division:

Allgemein:  0 : a = 0 \quad (a \neq 0) \qquad 0 : 5 = 0

Die Division durch Null ist nicht erlaubt!

GWM 5.5 Ganze Zahlen

Zahlengerade:


Betrag: Der Betrag einer Zahl ist ihre Entfernung vom Nullpunkt.

Beispiel: | -4 | = 4; \  | 4 | = 4

Zahlen, die gleichen Betrag aber verschiedene Vorzeichen haben, heißen Gegenzahlen.

Beispiel:  4 \leftrightarrow -4; \ 3 \leftrightarrow -3

GWM 5.6 Rechnen mit ganzen Zahlen: Addition und Subtraktion

 (+11) + (-4) = 11 - 4 = 7 \ Bild:11minus41.png

 (+11) - (+4) = 11 - 4 = 7 \ Bild:11minus42.png


 5 + (+3) = 5 + 3 = 8 \qquad -5 + (+3) = -5 + 3 = -2  5 + (-3)  = 5 - 3 = 2 \qquad -5 + (-3)  = -5 - 3 = -8  5 - (+3) = 5 - 3 = 2 \qquad -5 - (+3) = -5 - 3 =  -8  5 - (-3)  = 5 + 3 = 8 \qquad -5 - (-3)  = -5 + 3 = -2

GWM 5.7 Rechnen mit ganzen Zahlen: Multiplikation und Division

Regel: Gleiche Vorzeichen ergeben beim Multiplizieren und Dividieren " +\ ", ungleiche " -\ ".

 3 \cdot (+5) = 15 \quad 15 : (+5) = 3 \quad -3 \cdot (+5) = -15 \quad -15 : (+5) = -3

 3 \cdot (-5) = -15 \quad	15 : (-5) = -3 \quad -3 \cdot (-5) = 15	\quad -15 : (-5) = 3

GWM 5.8 Größen und Maßstab

Länge:

Umrechnungszahl  10\ , Ausnahme:  1~km = 1000~m;\

 \begin{matrix}1~m = 10~dm;\quad \ & 1~dm = 10~cm; & 1~cm = 10~mm; \qquad \qquad \ \ \\
1~m = 0,001~km; & 1~dm = 0,1~m; & 1~cm = 0,1~dm = 0,01~m; \end{matrix}

 1~mm = 0,1~cm = 0,01~dm = 0,001~m;\

Fläche:

Umrechnungszahl  100\ , Achtung:  1~km^{2} = 1~km \cdot 1~km = 1000~m \cdot 1000~m = 1000000~m^{2}

 \begin{matrix}1~km^{2} = 100~ha; & 1~ha = 100~a; \quad \ \ & 1~a = 100~m^{2}; \qquad \qquad \qquad \quad \\
 & 1~ha = 0,01~km^{2}; & 1~a = 0,01~ha = 0,0001~km^{2}; \end{matrix}

 \begin{matrix}1~m^{2} = 100~dm^{2};\qquad \qquad \quad & 1~dm^{2} = 100~cm^{2}; & 1~cm^{2} = 100~mm^{2}; \\
1~m^{2} = 0,01~a = 0,0001~ha; & 1~dm^{2} = 0,01~m^{2}; & 1~cm^{2} = 0,01~dm^{2}; \end{matrix}

 1~mm^{2} = 0,01~cm^{2};

Masse:

Umrechnungszahl  1000\

 \begin{matrix}1~t = 1000~kg; & 1~kg = 1000~g; & 1~g = 1000~mg; & \\
 & 1~kg = 0,001~t; & 1~g = 0,001~kg; & 1~mg = 0,001~g; \end{matrix}

Zeit:

 1~a = 365~d; \quad 1~d = 24~h; \quad 1~h = 60~min; \quad	1~min = 60~s;

Maßstab:

Der Maßstab  1 : 100 \ (lies 1 zu 100) bedeutet:  1~cm in der Zeichnung entspricht  100~cm in der Wirklichkeit.

Beispiel:

Eine  5~cm lange Strecke in einer Karte mit dem Maßstab  1 : 250000 \ entspricht in der Wirklichkeit  5 \cdot 250000~cm = 1250000~cm = 12500~m = 12,5~km .

GWM 5.9 Kreis Vierecke

Alle Punkte, die von einem Punkt M aus gleich weit entfernt sind, liegen auf einem Kreis.


Bild:Vierecke.jpg

GWM 5.10 Körper

Bild:Körper.jpg

GWM 5.11 Umfang, Flächeninhalt, Oberflächen

Umfang des Rechtecks:  U_{R} = 2 \cdot (l + b) \qquad
Umfang des Quadrates:  U_{Q} = 4 \cdot a
Flächeninhalt des Rechtecks:  A_{R} = l \cdot b
Flächeninhalt des Quadrates:  A_{Q} = a^{2} \
Oberfläche des Quaders:  O_{Q} = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h)
Oberfläche des Würfels:  O_{W} = 6 \cdot a^{2} \

Netz des Quaders: Bild:NetzQuader.jpg

GWM 5.12 Strecken, Geraden, Winkel

Eine Strecke ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte.

Die Schreibweise  [AB] \quad steht für die Strecke von A nach B.

Der Abstand von Anfangs- und Endpunkt ist die Länge der Strecke.

Mit der Schreibweise  \overline{AB} = 5~cm \quad gibt man die Länge der Stecke an.

Verlängert man eine Strecke über einen Punkt bzw. über beide Punkte hinaus, so einsteht eine Halbgerade bzw. Gerade.

Beispiele:

Bild:Streckengeraden.jpg

Bild:Senkrechtparallel.jpg

g ist parallel zu h:  g \| h . g ist senkrecht zu l (g ist Lot zu l): 	g \perp l

Der Abstand d eines Punktes P von einer Geraden ist die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke.

Zwei Halbgeraden mit demselben Anfangspunkt S teilen die Ebene in zwei Teile. Jeder Teil (mit Rand) heißt Winkel.

Bild:Winkel.jpg

Bezeichnungen:  \angle (g,h) oder  \angle ASB oder kleine griechische Buchstaben:

 \alpha \ alpha,  \beta \ beta,  \gamma \ gamma,  \delta \ delta,  \epsilon \ epsilon,  \eta \ eta,  \vartheta \ theta,  \mu \ my,  \sigma \ sigma,  \tau \ tau,  \varphi \ phi,  \omega \ omega

Winkelarten:

  • Nullwinkel: α = 0o
  • spitze Winkel: 0o < α < 90o
  • rechter Winkel: α = 90o
  • stumpfe Winkel: 90o < α < 180o
  • gestreckter Winkel: α = 180o
  • überstumpfe Winkel: 180o < α < 360o

GWM 5.13 Koordinatensystem

Ein Koordinatensystem besteht aus zwei senkrechten Zahlenstrahlen mit gemeinsamem Nullpunkt. Die x-Achse heißt auch Abszisse, die y-Achse auch Ordinate.

Ein Punkt P(x/y) ist durch seine Koordinaten festgelegt.

Die Ebene wird in vier Quadranten unterteilt.


GWM 5.14 Zählprinzip, Baumdiagramm

Veranschaulichung am Baumdiagramm:

Jeder Pfad durch den Baum steht für eine Kombinationsmöglichkeit.

Hat die erste Verzeigung n \ Äste und die zweite m \ Äste, so gibt es n \cdot m Möglichkeiten.

Beispiel:

Es gibt rote (r), grüne (g) und blaue (b) Schuluniformen. Sie sind als T-Shirt T oder Sweatshirt S erhältlich. Es gibt 3 \cdot 2 = 6 Möglichkeiten, nämlich: rT, gT, bT, rS, gS, bS.

Web-Links

SMART-Aufgaben-Datenbank



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