SchulheftM12

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1. Integralrechnung

1.1 Das bestimmte Integral

Einfache Eigenschaften des bestimmten Integrals

1) Vorzeichen

2) Symmetrische Funktionen

3) Abschnittsweise Integration

1.3 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung (HDI)

Verfahren zur Berechnung bestimmter Integrale mit Hilfe einer Stammfunktion

1.4 Stammfunktionen und unbestimmtes Integral

Besondere Fälle für Stammfunktionen

1.5 Flächenberechnungen mit dem Integral

1) Fläche zwischen dem Graphen und der x-Achse

2) Fläche zwischen den Graphen zweier Funktionen

3) Uneigentliche Integrale - ins Unendliche reichende Flächen

3. Zufallsgrößen, Kombinatorik und Binomialverteilung

3.1 Zufallsgrößen

• Definition:

Eine Funktion $X:\Omega \longrightarrow \mathbb {R}$, die jedem Ergebnis $\omega \in \Omega$ eine reele Zahl $x_{i}=X(\omega )$ zuordnet, heißt Zufallsgröße oder Zufallsvariable $X\$ auf $\Omega \$.

• Definition:

Die Funktion $W:x_{i}\mapsto P(X=x_{i})$, die jedem Wert $x_{i}\$ der Zufallsgröße $X\$ eine Wahrscheinlichkeit $P(X=x_{i})$ zuordnet, heißt Wahrscheinlichkeitsverteilung oder Wahrscheinlichkeitsfunktion der Zufallsgröße $X\$.

Als Graph verwendet man dabei Stabdiagramme bzw. Histogramme.

• Definition:

Die Funktion $F:x\mapsto P(X\leq x)$, die jedem Wert $x\in \mathbb {R}$ die Wahrscheinlichkeit "bis zu diesem Wert" zuordnet, heißt kumulative Verteilungsfunktion der Zufallsgröße $X\$.

Als Graph ergibt sich dabei eine Treppenfunktion.

3.2 Erwartungswert und Varianz

• Definition:

Wenn $x_{1},x_{2},...,x_{n}\$ die möglichen Werte einer Zufallsgröße $X\$ sind, so heißt die reelle Zahl

$E(X)=x_{1}\cdot P(X=x_{1})+x_{2}\cdot P(X=x_{2})+...+x_{n}\cdot P(X=x_{n})$

der Erwartungswert der Zufallsgröße $X\$.

Kurzschreibweise: $\mu :=E(X)\$

Eine Messgröße für die Streuung der Werte $x_{i}\$ einer Zufallsgröße $X\$ um den Erwartungswert herum ist die sogenannte Varianz bzw. Standardabweichung.

• Definition:

Wenn $x_{1},x_{2},...,x_{n}\$ die möglichen Werte einer Zufallsgröße $X\$ mit dem Erwartungswert $\mu =E(X)\$ sind, so heißt die reelle Zahl

$Var(X)=(x_{1}-\mu )^{2}\cdot P(X=x_{1})+(x_{2}-\mu )^{2}\cdot P(X=x_{2})+...+(x_{n}-\mu )^{2}\cdot P(X=x_{n})$

die Varianz der Zufallsgröße $X\$.

Da dies eine quadratische Größe ist, die nicht so anschaulich ist, hat man zur Beurteilung der Abweichung vom Erwartungswert die sogenannte Standardabweichung eingeführt:

Standardabweichung $\sigma ={\sqrt {Var(X)}}\$ der Zufallsgröße $X\$

• Beispiele: Aufgaben Erwartungswert von J. van Lück bei GeoGebra

Standardabweichung und Varianz einer Zufallsgröße von Mathehoch13 bei YouTube.com

Varianz- und Standardabweichung Kurs bei unterricht.de

3.3 Kombinatorik

In der Kombinatorik steht stets die Frage nach der Anzahl der Möglichkeiten bei einem Zufallsexperiment im Fokus.

Will man die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $A\$ eines Laplace-Experiments bestimmen, interessiert man sich für die Anzahl der Elemente des Ergebnisraums $\Omega \$ und die Anzahl der Elemente des Ereignisses $A\$.

Hierfür liefert die Kombinatorik wichtige Abzählmethoden die auf dem allgemeinen Zählprinzip beruhen.

• Allgemeines Zählprinzip:

Wird ein Zufallsexperiment in $n\$ Stufen durchgeführt und gibt es in der ersten Stufe $n_{1}\$, in der zweiten Stufe $n_{2}\$ und in der $n$-ten Stufe $n_{n}\$ mögliche Ergebnisse, so gilt für die Anzahl $N\$ der insgesamt möglichen Ergebnisse: $N=n_{1}\cdot n_{2}\cdot ...\cdot n_{n}$

• Beispiel: Wie viele vierstellige Zahlen gibt es, die eine 7 an der Hunderterstelle haben?

• Beispiel: Wie viele fünfstellige Zahlen gibt es, die nur aus Ziffern kleiner als 7 bestehen?

Zählprinzip Erklärvideo von mathegym.de bei YouTube.com

Kombinatorik - eine Übersicht zu kombinatorischen Grundproblemen

• Fakultät:

$n!=1\cdot 2\cdot ...\cdot n$

• Binomialkoeffizient:

${\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\cdot (n-k)!}}$

• Urnenmodell:

Ein Urnenmodell ist ein Gedankenexperiment, das in der Stochastik verwendet wird, um verschiedene Zufallsexperimente auf einheitliche und anschauliche Weise zu modellieren. Dazu wird ein fiktives Gefäß, Urne genannt, mit einer bestimmten Anzahl an Kugeln gefüllt, die anschließend zufällig gezogen werden. Damit ist gemeint, dass bei jedem Zug alle in der Urne befindlichen Kugeln die gleiche Wahrscheinlichkeit haben, ausgewählt zu werden. Dadurch kann die Bestimmung der Wahrscheinlichkeiten auf die Lösung kombinatorischer Abzählprobleme zurückgeführt werden.

Man unterscheidet Ziehungen mit Zurücklegen, bei denen jede Kugel nach ihrer Registrierung wieder in die Urne zurückgelegt wird, von Ziehungen ohne Zurücklegen, bei denen eine einmal gezogene Kugel nicht wieder zurückgelegt wird. Viele wichtige Wahrscheinlichkeitsverteilungen, wie beispielsweise die Binomialverteilung oder die hypergeometrische Verteilung können mit Hilfe von Urnenmodellen hergeleitet und veranschaulicht werden.

Gemischte Aufgaben der Kombinatorik Kurs bei unterricht.de

3.4 Bernoulli-Experimente

Zufallsexperimente, bei denen man sich nur für zwei Ergebnisse (Treffer/Niete) interessiert, werden als Bernoulli-Experimente bezeichnet.

Symbole: 0: Niete; 1: Treffer; Trefferwahrscheinlichkeit $p=P({1})\$; Nietenwahrscheinlichkeit $q=1-p=P({0})\$;

• Beispiele: (1) Werfen einer Münze: $p=q=0,5\$; (2) Sechs und Nicht-Sechs beim Würfeln: $p={\frac {1}{6}};q={\frac {5}{6}}\$; (3) Ja/Nein- und Ein/Aus-Experimente;

• Bernoulli-Ketten

Eine Bernoulli-Kette ist eine Folge von $n\$ unabhängigen Bernoulli-Versuchen mit der Trefferwahrscheinlichkeit $p\$.

$n\$ heißt auch Länge der Bernoulli-Kette.

• Binomialverteilung

Gesucht: Wahrscheinlichkeit, dass bei einer Bernoulli-Kette der Länge $n\$ genau $k\$ Treffer erhalten werden, wobei die Trefferwahrscheinlichkeit $p\$ ist.

Diese wird oft mit $P(X=k)\$ oder $B(n;p;k)\$ bezeichnet. ($X\$: Anzahl der Treffer)

Baumdiagramme zu Bernoulli-Ketten bis zur Länge von n=4 beim Landesbildungsserver Baden-Württemberg

Formel von Bernoulli von J. van Lück bei geogebra.org

Bernoullische Formel:

$P(X=k)=B(n;p;k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot q^{n-k}$ mit $k\in \{0,1,...,n\}\$

Die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung $k\mapsto P(X=k)\$ heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p.

• Erwartungswert und Varianz der Binomialverteilung

5. Geraden und Ebenen im Raum

5.1 Lineare Abhängigkeit von Vektoren

• Sind mehrere Vektoren ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},...,{\vec {a}}_{n}$ gegeben, so lassen sich damit beliebig viele Vektoren ${\vec {v}}$ der Form

${\vec {v}}=\lambda _{1}\cdot {\vec {a}}_{1}+\lambda _{2}\cdot {\vec {a}}_{2}+...+\lambda _{n}\cdot {\vec {a}}_{n}$

erzeugen. Dann heißt ${\vec {v}}$ eine Linearkombination der Vektoren ${\vec {a}}_{1},{\vec {a}}_{2},...,{\vec {a}}_{n}$.

• Beispiel:

${\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}=2\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}}+3\cdot {\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}}-1\cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\9\end{pmatrix}}\ ;$

${\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}$ ist also eine Linearkombination aus den Vektoren ${\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\-2\\5\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-1\\0\\9\end{pmatrix}}$.

• Definition:

Die Vektoren ${\vec {v}}_{1},{\vec {v}}_{2},...,{\vec {v}}_{n}$ heißen linear abhängig, wenn mindestens einer dieser Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren darstellbar ist. Sonst heißen diese Vektoren linear unabhängig.

• Beispiel:

Prüfen Sie die Vektoren ${\begin{pmatrix}3\\2\\-3\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\8\\5\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}-1\\0\\8\end{pmatrix}}$ auf lineare Abhängigkeit!

Lösung: Mit Hilfe des zugehörigen Gleichungssystem (mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten) findet man heraus, dass diese drei Vektoren linear unabhängig sind, da es keine Zahlen $\lambda$ und $\mu$ gibt, so dass ${\begin{pmatrix}3\\2\\-3\end{pmatrix}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}-1\\8\\5\end{pmatrix}}+\mu \cdot {\begin{pmatrix}-1\\0\\8\end{pmatrix}}$.

• Übung: Rechner - lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit von Christian Barthel mit GeoGebra

• Satz:

Im zweidimensionalen Vektorraum $\mathbb {R} ^{2}$ gibt es maximal zwei linear unabhängige Vektoren. Im dreidimensionalen Vektorraum $\mathbb {R} ^{3}$ gibt es maximal drei linear unabhängige Vektoren. Jeder weitere Vektor lässt sich also eindeutig als Linearkombination dieser linear unabhängigen Vektoren darstellen.

• Bemerkung zum besseren Verständnis:

Im $\mathbb {R} ^{3}$ gilt:

Zwei Vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn diese beiden Vektoren parallel (bzw. antiparallel) sind. Drei Vektoren sind linear abhängig genau dann, wenn diese drei Vektoren parallel zu einer Ebene sind.

Siehe Linear abhängig in 2 Dimensionen und Linear abhängig in 3D von Dr. Marie-Luise Herrmann mit GeoGebra

5.2 Geraden

Geradengleichungen

Siehe Parameterform der Geradengleichung von Frank Dill bei GeoGebra

Der Ortsvektor eines beliebigen Punktes $X\in g$ auf einer Geraden $g\$ mit dem Aufpunkt $A\$ (und dem zugehörigen Ortsvektor ${\vec {a}}$) und dem Richtungsvektor ${\vec {u}}$lässt sich schreiben als:

$g:{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda {\vec {u}}$

• Beispiel:

$g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}$

ist die Geradengleichung der Gerade $g\$ durch den Punkt $A(0|-2|2)\$ mit dem Richtungsvektor ${\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}$.

Wann liegt ein Punkt auf einer Geraden?

Ein Punkt liegt genau dann auf einer Geraden, wenn beim Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung (für ${\vec {x}}$) mit einem festen Parameterwert $\lambda \$ eine wahre Aussage entsteht.

Dazu muss der passende Parameterwert für $\lambda \$ natürlich noch gefunden werden. Gelingt dies nicht, so liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

• Übung: Punktprobe Punkt - Gerade von S. Ripp bei GeoGebra

Besondere Geraden

$x_{1}$-Achse: ${\vec {x}}=\lambda {\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}}$, $x_{2}$-Achse: ${\vec {x}}=\lambda {\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}}$ und $x_{3}$-Achse: ${\vec {x}}=\lambda {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}$

Sind zwei Koordinaten im Richtungsvektor null, dann ist die Gerade parallel zu einer Koordinatenachse.

Zum Beispiel ist $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}5\\-3\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}0\\-4\\0\end{pmatrix}}$ parallel zur $x_{2}$-Achse.

Ist eine Koordinate im Richtungsvektor null, dann ist die Gerade parallel zu einer Koordinatenebene.

Zum Beispiel ist $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1\\-4\\9\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\0\end{pmatrix}}$ parallel zur $x_{1}x_{2}$-Ebene oder $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}-1\\5\\-2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}-5\\0\\2\end{pmatrix}}$ parallel zur $x_{1}x_{3}$-Ebene.

Spurpunkte

Die Spurpunkte einer Geraden sind deren Schnittpunkte mit den Koordinatenebenen.

• Beispiel:

$g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$

Spurpunkt $S_{1}$ mit der $x_{2}x_{3}$-Ebene: In dieser Ebene gilt: $x_{1}=0\Leftrightarrow 1+\lambda =0\Leftrightarrow \lambda =-1\ ;$

$\Rightarrow {\vec {s}}_{1}={\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-6\\5\end{pmatrix}}$ , also $S_{1}(0|-6|5)$.

Spurpunkt $S_{2}$ mit der $x_{1}x_{3}$-Ebene: Dort gilt: $x_{2}=0\Leftrightarrow -4+2\lambda =0\Leftrightarrow \lambda =2\ ;$

$\Rightarrow {\vec {s}}_{2}={\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}}+2\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\\2\end{pmatrix}}$ , also $S_{2}(3|0|2)$.

Spurpunkt $S_{3}$ mit der $x_{1}x_{2}$-Ebene: Dort gilt: $x_{3}=0\Leftrightarrow 4-\lambda =0\Leftrightarrow \lambda =4\ ;$

$\Rightarrow {\vec {s}}_{3}={\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}}+4\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\4\\0\end{pmatrix}}$ , also $S_{3}(5|4|0)$.

• Übung: Spurpunkte einer Geraden von Thorsten Glaser bei GeoGebra

Gegenseitige Lage von Geraden

Seien zwei Geraden $g:{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda {\vec {u}}$ und $h:{\vec {x}}={\vec {b}}+\mu {\vec {v}}$ gegeben.

Dann gibt es vier mögliche gegenseitige Lagen im Raum (siehe Abbildung im Buch S. 125):

a) Identische Geraden

Die beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und${\vec {v}}$ sind linear abhängig, d.h ${\vec {u}}=\sigma {\vec {v}}$ und der Aufpunkt $B\$ der Geraden $h\$ liegt auf $g\$.

b) Parallele Geraden

Die beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und${\vec {v}}$ sind linear abhängig, d.h ${\vec {u}}=\sigma {\vec {v}}$ und der Aufpunkt $B\$ der Geraden $h\$ liegt nicht auf $g\$.

c) Sich schneidende Geraden

Die beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und${\vec {v}}$ sind linear unabhängig, d.h ${\vec {u}}\neq \sigma {\vec {v}}$ und das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen liefert eine Lösung. Den Schnittpunkt bestimmt man, indem man die Geradengleichungen gleichsetzt bzw. ineinander einsetzt.

d) Windschiefe Geraden

Die beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und${\vec {v}}$ sind linear unabhängig, d.h ${\vec {u}}\neq \sigma {\vec {v}}$ und das Gleichsetzen der beiden Geradengleichungen liefert keine Lösung.

• Beispiel:

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der beiden Geraden $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$ und $h:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}}$!

Gleichsetzen: ${\begin{pmatrix}1\\-4\\4\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\2\\-3\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}3\\2\\-1\end{pmatrix}}$

$\Rightarrow \ (I)\ 1+\lambda =1+3\mu ;\ (II)\ -4+2\lambda =2+2\mu ;\ (III)\ 4-\lambda =-3-\mu ;\ (I)\Rightarrow \ \lambda =3\mu$

Dies setzen wir in die anderen beiden Gleichungen ein:

$(II')-4+6\mu =2+2\mu \ \Leftrightarrow \ 4\mu =6\ \Leftrightarrow \ \mu ={\frac {3}{2}};$

$(III')-4-3\mu =-3-\mu \ \Leftrightarrow \ -2\mu =1\ \Leftrightarrow \ \mu =-{\frac {1}{2}};$

Das ist offensichtlich ein Widerspruch! Also sind die beiden Geraden windschief zueinander (da sie ja auch nicht parallel zueinander sind).

• Übung: Gegenseitige Lage von Geraden von Martin Ulrich bei GeoGebra

5.3 Ebenen

Ebenengleichungen

Siehe Parameterform bei Ebenen verstehen von Birgit Lachner bei GeoGebra

Der Ortsvektor eines beliebigen Punktes $X\in E$ auf einer Ebene $E\$ mit dem Aufpunkt $A\$ (und dem zugehörigen Ortsvektor ${\vec {a}}$) und den beiden Richtungsvektoren ${\vec {u}},{\vec {v}}$lässt sich schreiben als:

$E:{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda {\vec {u}}+\mu {\vec {v}}$

• Beispiel:

$E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}$

ist die Ebenengleichung der Ebene $E\$ durch den Punkt $A(0|-2|2)\$ mit den Richtungsvektoren ${\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}$ und ${\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}$.

Wann liegt ein Punkt auf einer Ebene?

Ein Punkt liegt genau dann auf einer Ebene, wenn beim Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung (für ${\vec {x}}$) mit festen Parameterwerten $\lambda ,\mu \$ eine wahre Aussage entsteht.

Dazu müssen passende Parameterwerte für $\lambda \$ und $\mu \$ natürlich noch gefunden werden. Gelingt dies nicht, so liegt der Punkt nicht auf der Ebene.

• Übung: Parametergleichung der Ebene - Punkt auf Ebene von Ole Raemy bei GeoGebra

Spurgeraden

Die Schnittgeraden einer Ebene mit den Koordinatenebenen heißen Spurgeraden. Durch sie bekommt man einen Überblick über die Lage einer Ebene im Koordinatensystem.

Siehe Spurgeraden einer Ebene von Thorsten Glaser bei GeoGebra

Normalenformen der Ebenengleichung

Betrachte die Ebene $E:{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}+\mu {\vec {c}}$.

Sei ${\vec {n}}$ ein Normalenvektor auf die beiden Richtungsvektoren ${\vec {b}}$ und ${\vec {c}}$, also auch ein Normalenvektor auf die Ebene $E\$.

Dann gilt: ${\vec {n}}\circ {\vec {b}}=0\$ und ${\vec {n}}\circ {\vec {c}}=0\$, weil die Vektoren ja jeweils senkrecht aufeinander stehen.

Multipliziert man nun (mit Skalarprodukt!) die Ebenengleichung auf beiden Seiten mit dem Normalenvektor ${\vec {n}}$ durch, so entsteht:

${\vec {n}}\circ {\vec {x}}={\vec {n}}\circ {\vec {a}}+\lambda \cdot \underbrace {{\vec {n}}\circ {\vec {b}}} _{=0}+\mu \cdot \underbrace {{\vec {n}}\circ {\vec {c}}} _{=0}$

$\Rightarrow {\vec {n}}\circ {\vec {x}}-{\vec {n}}\circ {\vec {a}}=0$ und somit ergibt sich

die vektorielle Normalenform der Ebenengleichung

${\vec {n}}\circ ({\vec {x}}-{\vec {a}})=0$

Schreibt man diese mit den Koordinaten der Vektoren aus, so entsteht

die skalare Normalenform der Ebenengleichung

$n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}+n_{0}=0\$

mit $n_{0}:=-{\vec {n}}\circ {\vec {a}}\$

Diese Form wird auch Koordinatendarstellung oder Koordinatengleichung der Ebene genannt.

• Beispiel:

$E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}$

soll von der Parameterform in die Normalenform umgewandelt werden.

${\vec {n}}^{*}={\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\0\\6\end{pmatrix}}=3\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}$ ist ein Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren senkrecht steht.

Wir wählen günstigerweise als Normalenvektor ${\vec {n}}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}$.

Dann ist $n_{0}=-{\vec {n}}\circ {\vec {a}}=-{\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}=-(0+0+4)=-4$.

Die skalare Normalenform der Ebenengleichung ist also: $x_{1}+2x_{3}-4=0\$.

In Vektordarstellung ist die Normalenform der Ebenengleichung: ${\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\circ \left[{\vec {x}}-{\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}\right]=0$

• Übung: Ebenengleichungen von Thorsten Glaser bei GeoGebra

Hesse'sche Normalenform (HNF)

Benutzt man zum Aufstellen der Normalenform statt ${\vec {n}}$ sogar dessen Einheitsvektor ${\vec {n}}^{0}={\frac {\vec {n}}{|{\vec {n}}|}}$ und diesen noch so orientiert, dass ${\vec {n}}^{0}\circ {\vec {a}}>0$ ist, so erhält man die HNF der Ebenengleichung:

${\vec {n}}^{0}\circ ({\vec {x}}-{\vec {a}})=0$

bzw.

${\frac {n_{1}x_{1}+n_{2}x_{2}+n_{3}x_{3}+n_{0}}{|{\vec {n}}|}}=0\$

Diese wird vor allem für Abstandberechnungen von Punkt zu Ebene genutzt. Für den Fall, dass ${\vec {n}}^{0}\circ {\vec {a}}<0$, nimmt man einfach den Gegenvektor von ${\vec {n}}$ als Normalenvektor und stellt damit die HNF auf.

• Beispiel:

$E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}-2\\0\\1\end{pmatrix}}$

soll von der Parameterform in die Hesse'sche Normalenform umgewandelt werden.

Wir brauchen also noch den Einheitsvektor des Normalenvektors ${\vec {n}}={\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}$. Dieser ist ${\vec {n}}^{0}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}$.

Dann ist ${\vec {n}}^{0}\circ {\vec {a}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot (0+0+4)={\frac {4}{\sqrt {5}}}>0$.

Die skalare HNF der Ebenengleichung ist also: ${\frac {x_{1}+2x_{3}-4}{\sqrt {5}}}=0\$.

In Vektordarstellung ist die HNF der Ebenengleichung: ${\frac {1}{\sqrt {5}}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix}}\circ \left[{\vec {x}}-{\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}\right]=0$

5.4 Gegenseitige Lage von Gerade und Ebene

Schnittpunkt:

Die Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ der Ebene und der Richtungsvektor ${\vec {w}}$ der Geraden sind linear unabhängig genau dann, wenn die Ebene und die Gerade sich in einem Punkt schneiden. Den Schnittpunkt bestimmt man, indem man die Geradengleichung und die Ebenengleichung gleichsetzt bzw. ineinander einsetzt.

Parallelität:

Die Richtungsvektoren ${\vec {u}}$ und ${\vec {v}}$ der Ebene und der Richtungsvektor ${\vec {w}}$ der Geraden sind linear abhängig genau dann, wenn die Ebene und die Gerade parallel sind. Liegt die Gerade dabei nicht in der Ebene, so spricht man von echt parallel.

• Beispiele:

(1) Betrachte das Haus in dem Bild oben. Die Giebelhöhe sei 1,5. Wo schneidet die rechte vordere Dachkante die Bodenebene ($x_{1}x_{2}-Ebene$)?

Rechte vordere Dachkante $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}1,5-3\\5-5\\3,5-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}-1,5\\0\\1,5\end{pmatrix}};$

Die Bodenebene hat die Gleichung $x_{3}=0$.

Setze $x_{1},x_{2}$ und $x_{3}$ aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein: $2+1,5\mu =0$

$\Rightarrow 1,5\mu =-2$, also $\mu =-{\frac {4}{3}}$.

Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunktes $S$.

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}3\\5\\2\end{pmatrix}}-{\frac {4}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}-1,5\\0\\1,5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5\\5\\0\end{pmatrix}}\Rightarrow S(5|5|0);$

(2) Schnittpunkt von Gerade $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}$ und Ebene $E:x_{1}-x_{2}+2x_{3}=-8$?

Setze $x_{1},x_{2}$ und $x_{3}$ aus der Geradengleichung in die Ebenengleichung ein: $(0+\lambda )-(0+2\lambda )+2\cdot (2-\lambda )=-8$

$\Rightarrow -3\lambda +4=-8$, also $\lambda =4$.

Einsetzen in die Geradengleichung liefert den Ortsvektor des Schnittpunktes $S$.

${\vec {s}}={\begin{pmatrix}0\\0\\2\end{pmatrix}}+4\cdot {\begin{pmatrix}1\\2\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4\\8\\-2\end{pmatrix}}\Rightarrow S(4|8|-2);$

• Übung: Lage Gerade - Ebene von peterfleck bei GeoGebra

5.5 Gegenseitige Lage von Ebenen

Schnittgerade:

Die Normalenvektoren zweier Ebenen sind linear unabhängig genau dann, wenn die beiden Ebenen eine Schnittgerade gemeinsam haben.

Parallele Ebenen:

Die Normalenvektoren zweier Ebenen sind linear abhängig genau dann, wenn die beiden Ebenen parallel zueinander sind.

• Beispiele:

(1) Beschreibe die Lage von Ebene $E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}4\\4\\-1\end{pmatrix}}$ und Ebene $F:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\3\\7\end{pmatrix}}+\sigma {\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}}+\tau {\begin{pmatrix}6\\1\\-4\end{pmatrix}}$ zueinander und stelle gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgerade auf!

Wandle die Ebenengleichung von $E$ in Normalenform in Koordinatendarstellung um:

${\vec {n}}_{E}^{*}={\begin{pmatrix}-2\\3\\3\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}4\\4\\-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-15\\10\\-20\end{pmatrix}}=-5\cdot {\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}$. Wir wählen günstigerweise als Normalenvektor ${\vec {n}}_{E}={\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}$.

Dann ist $n_{0}=-{\vec {n}}\circ {\vec {a}}=-{\begin{pmatrix}3\\-2\\4\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1\\-3\\2\end{pmatrix}}=-(3+6+8)=-17$.

Die Normalenform der Ebenengleichung ist also $E:3x_{1}-2x_{2}+4x_{3}-17=0\$.

Setze nun $F$ in diese Gleichung ein:

$3\cdot (2\sigma +6\tau )-2\cdot (3+\sigma +\tau )+4\cdot (7-\sigma -4\tau )-17=0$;

$6\sigma +18\tau -6-2\sigma -2\tau +28-4\sigma -16\tau -17=0\ \Leftrightarrow \ 0+22-17=0\ \Leftrightarrow \ 5=0$;

Das ist falsch. Also haben die beiden Ebenen keine gemeinsamen Punkte. Sie müssen deswegen echt parallel sein.

(2) Beschreibe die Lage von Ebene $E:x_{1}+2x_{2}+x_{3}-10=0$ und Ebene $F:2x_{1}+x_{2}+x_{3}-8=0$ zueinander und stelle gegebenenfalls eine Gleichung der Schnittgerade auf!

Da die beiden Normalenvektoren ${\vec {n}}_{E}={\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}$ und ${\vec {n}}_{F}={\begin{pmatrix}2\\1\\1\end{pmatrix}}$ linear unabhängig sind, müssen sich die beiden Ebenen in einer Geraden schneiden.

Die beiden Ebenengleichungen stellen ein lineares Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und drei Unbekannten dar, es ist also unterbestimmt. Deswegen kann man eine Unbekannte frei wählen.

Wähle $x_{3}=\lambda$. Die beiden Gleichungen sind dann:

$(I)\ x_{1}+2x_{2}+\lambda -10=0$ und $(II)\ 2x_{1}+x_{2}+\lambda -8=0$.

$(I)-2\cdot (II):\ -3x_{1}-\lambda +6=0\ \Leftrightarrow \ -3x_{1}=\lambda -6\ \Leftrightarrow \ x_{1}=-{\frac {1}{3}}\lambda +2$;

$2\cdot (I)-(II):\ 3x_{2}+\lambda -12=0\ \Leftrightarrow \ 3x_{2}=-\lambda +12\ \Leftrightarrow \ x_{2}=-{\frac {1}{3}}\lambda +4$;

$\Rightarrow {\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}\lambda +2\\-{\frac {1}{3}}\lambda +4\\\lambda \end{pmatrix}}$

Die Schnittgerade hat also die Gleichung $s:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\4\\0\end{pmatrix}}+\lambda \cdot {\begin{pmatrix}-{\frac {1}{3}}\\-{\frac {1}{3}}\\1\end{pmatrix}}$.

Die folgende Abbildung veranschaulicht die möglichen Lagen dreier Ebenen zueinander:

Lage zweier Ebenen bei lernzentrum.de

• Übung: Lage Ebene zu Ebene von Thorsten Glaser bei Geogebra

5.6 Abstandsbestimmungen

Abstand zweier Punkte:

Der Abstand $d$ zweier Punkte $A$ und $B$ ist gleich dem Betrag des Verbindungsvektors ${\vec {AB}}$:

$d=|{\vec {AB}}|$

Abstand eines Punktes von einer Geraden, Lotfußpunkt

Sei $P$ ein Punkt außerhalb einer Geraden $g:{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}$

Für den Lotfußpunkt $F$ muss dann gelten: $F\in g$ und ${\vec {PF}}\circ {\vec {b}}=0$ .

Aus diesen zwei Bedingungen kann man den Lotfußpunkt berechnen und damit den gesuchten Abstand

$d(P;g)=|{\vec {PF}}|$

• Beispiel:

Welchen Abstand hat der Punkt $P(1|2|3)$ von der Gerade $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-5\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}-4\\3\\-2\end{pmatrix}}$?

Sei $F(f_{1}|f_{2}|f_{3})$ der gesuchte Lotfußpunkt (vom Punkt $P$ aus) auf der Gerade $g$. Damit gilt: ${\vec {f}}={\begin{pmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\-5\\2\end{pmatrix}}+\lambda _{f}{\begin{pmatrix}-4\\3\\-2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-4\lambda _{f}\\-5+3\lambda _{f}\\2-2\lambda _{f}\end{pmatrix}}$ ;

${\vec {PF}}\circ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}-4\lambda _{f}-1\\-7+3\lambda _{f}\\-1-2\lambda _{f}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}-4\\3\\-2\end{pmatrix}}=16\lambda _{f}+4-21+9\lambda _{f}+2+4\lambda _{f}=29\lambda _{f}-15\ {\stackrel {!}{=}}\ 0$;

$\Rightarrow \lambda _{f}={\frac {15}{29}}$; $\Rightarrow {\vec {PF}}={\begin{pmatrix}-{\frac {89}{29}}\\-{\frac {158}{29}}\\-{\frac {59}{29}}\end{pmatrix}}$; $F(-{\frac {60}{29}}|-{\frac {100}{29}}|{\frac {28}{29}})$;

$\Rightarrow d(P;g)=|{\vec {PF}}|={\sqrt {(-{\frac {89}{29}})^{2}+(-{\frac {158}{29}})^{2}+(-{\frac {59}{29}})^{2}}}\approx 6,58$;

• Übung: Abstand-Punkt-Gerade von Christian Barthel bei Geogebra

Abstand zweier paralleler Geraden

Man berechnet wie im letzten Abschnitt den Abstand eines Punktes der einen Gerade von der anderen Gerade.

Abstand eines Punktes von einer Ebene

Man erhält den Abstand eines Punktes $P$ von einer Ebene $E$, wenn man den Ortsvektor ${\vec {p}}$ des Punktes in die linke Seite der Hesse'schen Normalenform der Ebene einsetzt:

$d(P;E)=|{\vec {n}}^{0}\circ ({\vec {p}}-{\vec {a}})|=|{\frac {n_{1}p_{1}+n_{2}p_{2}+n_{3}p_{3}+n_{0}}{|{\vec {n}}|}}|$

Ist dabei ${\vec {n}}^{0}\circ ({\vec {p}}-{\vec {a}})>0$ , so liegen der Ursprung des Koordinatensystems und der Punkt $P$ auf verschiedenen Seiten von der Ebene aus gesehen.

Ist dabei ${\vec {n}}^{0}\circ ({\vec {p}}-{\vec {a}})<0$ , so liegen der Ursprung und der Punkt $P$ auf derselben Seite von der Ebene aus gesehen.

• Beispiel:

Welchen Abstand haben der Ursprung und der Punkt $P(1|-2|2)$ von der Ebene $E:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}$?

Normalenvektor der Ebene ist ${\vec {n}}^{*}={\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}2\\1\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}}$. Der Einheitsvektor dazu ist ${\vec {n}}^{*0}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}}$.

Dann ist ${\vec {n}}^{*0}\circ {\vec {a}}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}-1\\2\\-2\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}}={\frac {1}{3}}\cdot (0+0-2)=-{\frac {2}{3}}<0$.

Wähle deshalb für die HNF den Normaleneinheitsvektor ${\vec {n}}^{0}={\frac {1}{3}}\cdot {\begin{pmatrix}1\\-2\\2\end{pmatrix}}$. Damit ist ${\vec {n}}^{0}\circ {\vec {a}}=+{\frac {2}{3}}>0$.

Die skalare HNF der Ebenengleichung ist also: ${\frac {x_{1}-2x_{2}+2x_{3}-2}{3}}=0\$.

Die gesuchten Abstände erhält man nun einfach durch Einsetzen der Koordinaten der Punkte:

$d(Ursprung;E)=|{\frac {1\cdot 0-2\cdot 0+2\cdot 0-2}{3}}|={\frac {2}{3}}$;

$d(P;E)=|{\frac {1\cdot 1-2\cdot (-2)+2\cdot 2-2}{3}}|={\frac {7}{3}}$; (Der Ursprung des Koordinatensystems und der Punkt $P$ liegen auf verschiedenen Seiten von der Ebene aus gesehen.)

Abstand zweier windschiefer Geraden

Gegeben sind zwei windschiefe Geraden: $g:{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}\ ;\qquad h:{\vec {x}}={\vec {c}}+\mu {\vec {d}}\ ;$

Gesucht ist der Abstand $d(g;h)=|{\vec {UV}}|$

wobei $\ U$ der Fußpunkt auf der Geraden $\ g$ und $\ V$ der Fußpunkt auf der Geraden $\ h$ bezüglich des gemeinsamen Lotes der beiden Geraden ist:

Es muss dabei für den gemeinsamen Normalenvektor ${\vec {n}}$ gelten:

${\vec {n}}\circ {\vec {b}}=0\ ;\qquad {\vec {n}}\circ {\vec {d}}=0\ ;(\ast )$

Man bildet eine geschlossene Vektorkette:

${\vec {AC}}+\mu {\vec {d}}-{\vec {UV}}-\lambda {\vec {b}}={\vec {0}}\ ;$

Mit ${\vec {UV}}=\sigma {\vec {n}}$ und nach Skalarproduktbildung mit ${\vec {n}}$ auf beiden Seiten der Gleichung ergibt sich:

${\vec {AC}}\circ {\vec {n}}+\mu {\vec {d}}\circ {\vec {n}}-\sigma {\vec {n}}\circ {\vec {n}}-\lambda {\vec {b}}\circ {\vec {n}}=0\ ;$

Mit $(\ast )$ vereinfacht sich dies zu:

${\vec {AC}}\circ {\vec {n}}-\sigma {\vec {n}}\circ {\vec {n}}=0\ ;$

Daraus erhält man leicht $\sigma$ und damit ${\vec {UV}}=\sigma {\vec {n}}$ und somit auch den gesuchten Abstand $d(g;h)=|{\vec {UV}}|$

• Beispiel:

$g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}\ ;\qquad h:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}\ ;$

${\vec {AC}}={\begin{pmatrix}2\\6\\-1\end{pmatrix}}\ ;\qquad {\vec {n}}={\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}}\ ;$

${\vec {AC}}\circ {\vec {n}}=4-12-1=-9\ ;$

${\vec {n}}\circ {\vec {n}}=4+4+1=9\ ;$

${\vec {AC}}\circ {\vec {n}}-\sigma {\vec {n}}\circ {\vec {n}}=-9-9\sigma \ ;$

$0=-9-9\sigma \ ;$

$\sigma =-1\ ;\qquad {\vec {UV}}={\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}}\ ;$

$d(g;h)=|{\vec {UV}}|={\sqrt {9}}=3\ ;$

• BEMERKUNG:

Alternativ kann man den Abstand zweier windschiefer Geraden $g$ und $h$ auch miitels einer Hilfsebene $E$ bestimmen, die die Gerade $g$ enthält und zur anderen Gerade $h$ parallel ist.

Der Abstand der windschiefen Geraden ist dann gleich dem Abstand des Aufpunktes der Geraden $h$ von der Ebene $E$.

5.7 Schnittwinkel

Schnittwinkel zweier Geraden

Der Schnittwinkel zweier Geraden ist der Zwischenwinkel zwischen den beiden zugehörigen Richtungsvektoren der beiden Geraden.

Schnittwinkel zwischen Gerade und Ebene

Sei ${\vec {v}}$ der Richtungsvektor der Geraden und ${\vec {n}}$ ein Normalenvektor der Ebene.

Dann gilt für den Schnittwinkel $\psi$ zwischen Gerade und Ebene:

$sin(\psi )=cos(90^{o}-\psi )={\frac {|{\vec {n}}\circ {\vec {v}}|}{|{\vec {n}}|\cdot |{\vec {v}}|}}$

• Beispiel:

Wie groß ist der Schnittwinkel der Geraden $g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}1\\4\\9\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\$ mit der Ebene $E:3x_{1}+5x_{2}-2x_{3}=7\$?

$sin(\psi )={\frac {\left|{\begin{pmatrix}3\\5\\-2\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\right|}{\left|{\begin{pmatrix}3\\5\\-2\end{pmatrix}}\right|\cdot \left|{\begin{pmatrix}1\\2\\1\end{pmatrix}}\right|}}={\frac {|3+10-2|}{{\sqrt {38}}\cdot {\sqrt {6}}}}={\frac {11}{\sqrt {228}}}$;

$\Rightarrow \psi =46,8^{0}$

Schnittwinkel zweier Ebenen

Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der Zwischenwinkel zwischen den beiden zugehörigen Normalenvektoren der beiden Ebenen.

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