SchulheftM11

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1. Graphen gebrochen rationaler Funktionen

1.1 Verhalten in der Umgebung von Definitionslücken

Es gibt zwei Arten von Definitionslücken:

• Polstellen (--> senkrechte Asymptoten)
• Stetig hebbare Definitionslücken (--> "Loch" im Graphen)

2. Einführung in die Differentialrechnung

2.1 Der Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate)

Der Differenzenquotient entspricht der Steigung der Sekante durch die beiden Punkte des Graphen P(a|f(a)) und Q(b|f(b)).

2.2 Der Differentialquotient (lokale Änderungsrate)

Die Steigung des Graphen von f im Punkt P(x₀|f(x₀)) ist dieser Differentialquotient.

2.3 Die Ableitung

Bemerkung: h-Methode

Summenregel

Faktorregel

Produktregel

Quotientenregel

3. Anwendungen der Ableitung

3.3 Das Newton-Verfahren: Ein Iterationsverfahren zur Nullstellen-Bestimmung

Manchmal lassen sich die Nullstellen einer Funktion $f\$ nicht durch einfaches Lösen der Gleichung $f(x)=0$ finden.

Dann kann man mit Hilfe von numerischen Verfahren wenigstens einen Näherungswert für die Nullstellen ermitteln.

Solch ein Verfahren ist das Newton-Verfahren:

Hat eine differenzierbare Funktion $f\$ eine Nullstelle, so kann man diese näherungsweise mit der Iteration

$x_{n+1}=x_{n}-{\frac {f(x_{n})}{f'(x_{n})}}$

ermitteln. Dabei geht man von einem geeigneten Startwert $x_{0}\$ aus.

ABER: Das Newton-Verfahren ist zwar für jede differenzierbare Funktion anwendbar, führt aber nicht immer zum Erfolg!

Newtonverfahren von xhochnde bei YouTube.com

Newton-Verfahren von Hannes Mitterlehner bei GeoGebra

Der Newton-Algorithmus zur Approximation von Nullstellen bei arndt-bruenner.de

4. GEOMETRIE: Koordinatengeometrie im Raum

4.1 Das dreidimensionale Koordinatensystem

Zeichnen im 3D-Koordinatensystem bei Serlo Mathematik de.serlo.org

(Siehe auch 3D-Koordinatensystem von Dr. Marie-Luise Herrmann bei GeoGebra)

4.2 Grundlagen der Vektorrechnung

• Der Vektorbegriff

In der Physik verwenden wir skalare Größen (Skalare), die durch die Angabe einer Maßzahl und einer Maßeinheit vollständig bestimmt sind (z.B. Masse $m\$, Zeit $t\$, Temperatur $\vartheta \$, Energie $E\$, ...).

Es gibt aber auch gerichtete Größen (Vektoren), die noch dazu auch die Angabe einer Richtung benötigen (z.B. Kraft ${\vec {F}}\$, Geschwindigkeit ${\vec {v}}\$, Impuls ${\vec {p}}\$, Beschleunigung ${\vec {a}}\$, ...).

Wir betrachten eine Verschiebung:

Für den Verschiebungspfeil ${\vec {a}}\$ gilt: ${\vec {a}}={\vec {AA'}}={\vec {PQ}}$

Definition:

Die unendliche Menge aller Pfeile einer Verschiebung heißt Vektor. Ein einzelner Verschiebungspfeil daraus heißt Repräsentant des Vektors.

Ein Vektor wird bestimmt durch seine Richtung und seinen Betrag (entspricht der Länge des Vektorpfeils).

• Vektoren im Koordinatensystem

Sei ${\vec {a}}={\vec {AB}}$ mit $A(2|1),B(3|4)\$ und ${\vec {b}}={\vec {CD}}$ mit $C(3|0),D(5|1)\$ und ${\vec {c}}={\vec {EF}}$ mit $E(1|1),F(4|-2)\$ .

Koordinatendarstellung eines Vektors (2-dimensional):

${\vec {a}}={\vec {AB}}={\begin{pmatrix}3-2\\4-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\\3\end{pmatrix}}\qquad$ Betrag $|{\vec {a}}|=|{\vec {AB}}|={\sqrt {1^{2}+3^{2}}}={\sqrt {10}}$

${\vec {b}}={\vec {CD}}={\begin{pmatrix}5-3\\1-0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}}\qquad$ Betrag $|{\vec {b}}|=|{\vec {CD}}|={\sqrt {2^{2}+1^{2}}}={\sqrt {5}}$

${\vec {c}}={\vec {EF}}={\begin{pmatrix}4-1\\-2-1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}3\\-3\end{pmatrix}}\qquad$ Betrag $|{\vec {c}}|=|{\vec {EF}}|={\sqrt {3^{2}+(-3)^{2}}}={\sqrt {18}}$

(Prinzip:"Spitze minus Fuß", die Koordinaten des Punktes an der Spitze werden zeilenweise von den Koordinaten des Fußpunktes subtrahiert.)

Allgemein:

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\end{pmatrix}}\qquad$ Betrag $|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}}}$

Im 3-dimensionalen Fall ist die Koordinatendarstellung eines Vektors ein 3-Tupel:

${\vec {a}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\qquad$ Betrag $|{\vec {a}}|={\sqrt {a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}}}$

Beispiel: Vektor ${\vec {AB}}={\begin{pmatrix}1\\4\\3\end{pmatrix}}\quad$ bestimmt durch die Punkte $A(1|1|0)\$ und $B(2|5|3)\$

• Addition von Vektoren

Die Verkettung zweier Verschiebungen mit den Vektoren ${\vec {a}}\$ und ${\vec {b}}\$ ist wieder eine Verschiebung, deren Vektor der Summenvektor ${\vec {a}}+{\vec {b}}\$ ist:

Die Vektoraddition ist kommutativ, das heißt ${\vec {a}}+{\vec {b}}={\vec {b}}+{\vec {a}}\$.

Sie ist ebenfalls assoziativ: ${\vec {a}}+{\vec {b}}+{\vec {c}}=({\vec {a}}+{\vec {b}})+{\vec {c}}={\vec {a}}+({\vec {b}}+{\vec {c}})\$.

Koordinatendarstellung:

${\vec {a}}+{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}+b_{1}\\a_{2}+b_{2}\\a_{3}+b_{3}\end{pmatrix}}$

(Siehe auch Vektoraddition von Thorsten Glaser bei GeoGebra)

• Differenzvektor

Koordinatendarstellung:

${\vec {a}}-{\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}-b_{1}\\a_{2}-b_{2}\\a_{3}-b_{3}\end{pmatrix}}$

(Siehe auch Subtraktion 3D von Werth bei GeoGebra)

• Gegenvektor

Die Verschiebung mit den Vektoren ${\vec {a}}\$ wird durch die Verschiebung mit dem Gegenvektor $-{\vec {a}}\$ rückgängig gemacht.

Koordinatendarstellung:

$-{\vec {a}}={\begin{pmatrix}-a_{1}\\-a_{2}\\-a_{3}\end{pmatrix}}$

Die Subtraktion zweier Vektoren kann auch als Addition des Gegenvektors interpretiert werden: ${\vec {b}}-{\vec {a}}={\vec {b}}+(-{\vec {a}})\$.

• Nullvektor

Die identische Abbildung (keine Verschiebung) hat den Verschiebungsvektor ${\vec {0}}\$.

Der Nullvektor hat die Länge null, seine Richtung ist unbestimmt.

Koordinatendarstellung:

${\vec {0}}={\begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}}$

• Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl, parallele Vektoren

Koordinatendarstellung:

$\lambda \cdot {\vec {a}}=\lambda \cdot {\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\lambda \cdot a_{1}\\\lambda \cdot a_{2}\\\lambda \cdot a_{3}\end{pmatrix}}$

(Siehe auch Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar von lauragroessinger bei GeoGebra)

• Vektorketten

Eine mehrgliedrige Summe von Vektoren mit dem Summenvektor ${\vec {0}}\$ heißt geschlossene Vektorkette. Bei Aufgaben bevorzugt man oft solche geschlossenen Vektorketten.

• Ortsvektoren

Zu jedem Punkt $P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\$ im Koordinatensystem gibt es einen Pfeil, der im Ursprung $O\$ beginnt und in $P\$ endet. Dieser Pfeil legt eindeutig einen Vektor ${\vec {OP}}\$ fest, den man auch Ortsvektor des Punktes $P\$ nennt (Schreibweise: ${\vec {p}}\$).

Koordinatendarstellung:

Ortsvektor ${\vec {p}}={\vec {OP}}={\begin{pmatrix}p_{1}\\p_{2}\\p_{3}\end{pmatrix}}$

• Mittelpunkt einer Strecke

Gegeben sei eine Strecke $[AB]\$ zwischen den Punkten $A\$ und $B\$ mit den Ortsvektoren ${\vec {a}}\$ und ${\vec {b}}\$.

Dann gilt:

Ortsvektor des Mittelpunktes ${\vec {m}}={\frac {1}{2}}\cdot ({\vec {a}}+{\vec {b}})$

4.3 Betrag von Vektoren, Länge von Strecken

Die Länge eines Vektors ${\vec {a}}\$ heißt auch Betrag von ${\vec {a}}\$:

(Siehe auch Betrag eines Vektors 3D von JSmh bei geogebra.org)

Die Länge einer Strecke $[AB]\$ ist: ${\overline {AB}}=|{\vec {AB}}|\$.

Vektoren der Länge 1 heißen Einheitsvektoren, zum Beispiel ${\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}},\ {\begin{pmatrix}0\\-1\\0\end{pmatrix}}\$ oder ${\begin{pmatrix}-2/3\\1/3\\2/3\end{pmatrix}}$.

Den Einheitsvektor in die Richtung eines bestimmten vorgegebenen Vektors ${\vec {a}}\$ bezeichnet man mit ${\vec {a}}^{0}\$.

${\vec {a}}^{0}={\frac {\vec {a}}{|{\vec {a}}|}}$

Beispiele: In Richtung von ${\vec {a}}={\begin{pmatrix}6\\-2\\3\end{pmatrix}}\$ ist der Einheitsvektor ${\vec {a}}^{0}={\frac {\vec {a}}{7}}={\begin{pmatrix}6/7\\-2/7\\3/7\end{pmatrix}}\$ und in Richtung von ${\vec {b}}={\begin{pmatrix}8\\1\\-4\end{pmatrix}}\$ ist der Einheitsvektor ${\vec {b}}^{0}={\frac {\vec {b}}{9}}={\begin{pmatrix}8/9\\1/9\\-4/9\end{pmatrix}}\$.

4.4 Skalarprodukt von Vektoren, Winkelberechnungen

Die Zahl

${\vec {a}}\circ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\circ {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}:=a_{1}\cdot b_{1}+a_{2}\cdot b_{2}+a_{3}\cdot b_{3}$

heißt Skalarprodukt der Vektoren ${\vec {a}}\$ und ${\vec {b}}\$.

(Zur Herleitung siehe Skalarprodukt Herleitung und Anwendung by Lernen & Wissen bei YouTube.com)

Es gilt:

${\vec {a}}\circ {\vec {b}}=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot cos(\varphi )$

wobei $\varphi \$ der Zwischenwinkel der Vektoren ${\vec {a}}\$ und ${\vec {b}}\$ ist.

Also gilt für den Zwischenwinkel $\varphi \$ zweier beliebiger Vektoren ${\vec {a}}\$ und ${\vec {b}}\$:

$cos(\varphi )={\frac {{\vec {a}}\circ {\vec {b}}}{|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|}}$

Mit dem Skalarprodukt kann man Winkel zwischen Vektoren berechnen und insbesondere überprüfen, ob zwei Vektoren orthogonal (senkrecht) zueinander sind:

${\vec {a}}\perp {\vec {b}}\Longleftrightarrow {\vec {a}}\circ {\vec {b}}=0$

4.5 Das Vektorprodukt

Der Vektor

${\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}b_{1}\\b_{2}\\b_{3}\end{pmatrix}}:={\begin{pmatrix}a_{2}b_{3}-a_{3}b_{2}\\a_{3}b_{1}-a_{1}b_{3}\\a_{1}b_{2}-a_{2}b_{1}\end{pmatrix}}$

heißt Vektorprodukt (Kreuzprodukt) der Vektoren ${\vec {a}}\$ und ${\vec {b}}\$.

${\vec {a}}\times {\vec {b}}\$ ist orthogonal zu ${\vec {a}}\$ und zu ${\vec {b}}\$.

• Anwendungen:

(1) Es gilt:

$|{\vec {a}}\times {\vec {b}}|=|{\vec {a}}|\cdot |{\vec {b}}|\cdot sin(\varphi )$

wobei $\varphi \$ der Zwischenwinkel der Vektoren ${\vec {a}}\$ und ${\vec {b}}\$ ist.

(2) Flächeninhalt des Dreiecks $ABC\$:

$A_{\Delta ABC}={\frac {1}{2}}\cdot |{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}|$

(3) Flächeninhalt des von ${\vec {AB}}\$ und ${\vec {AC}}\$ aufgespannten Parallelogramms $ABCD\$:

$A_{ABCD}=|{\vec {AB}}\times {\vec {AC}}|$

(4) Volumen der von ${\vec {AB}},{\vec {AC}}\$ und ${\vec {AD}}\$ aufgespannten Pyramide $ABCD\$:

$V_{PyrABCD}={\frac {1}{6}}\cdot |({\vec {AB}}\times {\vec {AC}})\circ {\vec {AD}}|$

(5) Volumen des von ${\vec {AB}},{\vec {AC}}\$ und ${\vec {AD}}\$ aufgespannten Parallelspats $ABCDEFGH\$:

$V_{SpatABCDEFGH}=|({\vec {AB}}\times {\vec {AC}})\circ {\vec {AD}}|$

4.6 Kugeln im dreidimensionalen Koordinatensystem

Eine Kugel $k\$ ist die Menge aller Punkte $X(x_{1}|x_{2}|x_{3})\in k\$ im Raum, die von einem festen Punkt $M\$ den gleichen Abstand $r\$ haben.

Eine Kugel $k\$ mit Mittelpunkt $M(m_{1}|m_{2}|m_{3})\$ und dem Radius $r\$ wird beschrieben durch die Kugelgleichung:

$({\vec {x}}-{\vec {m}})^{2}=r^{2}\Longleftrightarrow ({\vec {x}}-{\vec {m}})\circ ({\vec {x}}-{\vec {m}})=r^{2}\Longleftrightarrow (x_{1}-m_{1})^{2}+(x_{2}-m_{2})^{2}+(x_{3}-m_{3})^{2}=r^{2}\$

(Achtung Skalarprodukt!)

(Siehe auch Kugel von Christian Barthel bei GeoGebra)

Wann liegt ein Punkt auf einer Kugel?

Ein Punkt $P(p_{1}|p_{2}|p_{3})\$liegt genau dann auf einer Kugel, wenn beim Einsetzen der Koordinaten des Punktes in die Kugelgleichung (für ${\vec {x}}\$) eine wahre Aussage entsteht, also $({\vec {p}}-{\vec {m}})^{2}=r^{2}$.

Ist $({\vec {p}}-{\vec {m}})^{2}>r^{2}$, so liegt $P\$ außerhalb der Kugel, ist $({\vec {p}}-{\vec {m}})^{2}<r^{2}$, so liegt $P\$ innerhalb der Kugel.

• Beispiel:

$k:\left({\vec {x}}-{\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}\right)^{2}=121$

ist die Kugelgleichung der Kugel $k\$ mit dem Mittelpunkt $M(1|-2|3)\$ mit dem Radius $r=11\$.

Der Punkt $P(7|0|12)\$ liegt auf der Kugel, da $\left({\begin{pmatrix}7\\0\\12\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}\right)^{2}=121$.

Der Punkt $Q(8|1|10)\$ liegt innerhalb der Kugel, da $\left({\begin{pmatrix}8\\1\\10\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}\right)^{2}=107<121$.

Der Punkt $R(6|5|12)\$ liegt außerhalb der Kugel, da $\left({\begin{pmatrix}6\\5\\12\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}1\\-2\\3\end{pmatrix}}\right)^{2}=155>121$.

5. Differentialrechnung: Weitere Ableitungsregeln

5.1 Die Ableitung der Sinus- und Kosinusfunktionen

(Siehe zur Wiederholung zuerst Winkelfunktion von Kurt Söser bei GeoGebra)

$sin'(x)=cos(x)\$

$cos'(x)=-sin(x)\$

$tan'(x)={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$

Die Ableitung vom Sinus ist der Kosinus (Mathe-Song) vom DorFuchs bei youtube.com

• Aufgabenbeispiel:

Bestimmen Sie die Gleichungen der Tangente und der Normalen an den Graphen von $f(x)={\frac {1}{6}}x^{3}\cdot cos(x)$ im Punkt $P(\pi |?)\$

Lösung:

$f(\pi )=-{\frac {\pi ^{3}}{6}};$

$f'(x)={\frac {1}{6}}\cdot 3x^{2}\cdot cos(x)+{\frac {1}{6}}x^{3}\cdot (-sin(x))={\frac {1}{2}}\cdot x^{2}cos(x)-{\frac {1}{6}}x^{3}\cdot sin(x);$

$f'(\pi )=-{\frac {1}{2}}\cdot \pi ^{2};$

Ansatz Tangente: $y=m\cdot x+t$

Also hier: $-{\frac {\pi ^{3}}{6}}=-{\frac {1}{2}}\cdot \pi ^{2}\cdot \pi +t;$ Es ergibt sich: $t={\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{3};$

Die gesuchte Tangentengleichung lautet: $y=-{\frac {1}{2}}\cdot \pi ^{2}\cdot x+{\frac {1}{3}}\cdot \pi ^{3};$

Ansatz Normale: $y=-{\frac {1}{m}}\cdot x+n$ (für die Steigungen $m_{1}\$ und $m_{2}\$ zweier aufeinander senkrecht stehender Geraden gilt: $m_{1}\cdot m_{2}=-1$ !)

Also hier: $-{\frac {\pi ^{3}}{6}}={\frac {2}{\pi ^{2}}}\cdot \pi +n;$ Es ergibt sich: $n=-{\frac {\pi ^{3}}{6}}-{\frac {2}{\pi }};$

Die gesuchte Normalengleichung lautet: $y={\frac {2}{\pi ^{2}}}\cdot x-{\frac {\pi ^{3}}{6}}-{\frac {2}{\pi }};$

(zum Thema Normale siehe auch: Normale | Erklärung, Beispiel und Tipps by einfach mathe!)

5.2 Umkehrfunktion / Umkehrbarkeit von Funktionen

(Siehe auch Buch S. 130 und S. 131)

(Siehe zur Wiederholung zuerst das Video Was ist eine Funktion? von Videolernen bei YouTube.com)

• Frage: Was ist eine Funktion? Antwort: Eine Funktion ist eine eindeutige Zuordnung.

Wir kennen aus der Mathematik bereits Umkehroperationen (Addition <--> Subtraktion, Multiplikation <--> Division, ...) und aus dem Alltag zueinander umgekehrte Vorgänge (Einpacken <--> Auspacken, Vorwärts <--> Rückwärts, ...).

Ebenso kann man bei einer Funktion die umgekehrte Zuordnung betrachten.

Allerdings führt das nicht immer zu einer eindeutigen Umkehrfunktion, da die umgekehrte Zuordnung nicht immer eindeutig ist!

Beispiel: Jedem der 30 Schüler einer Klasse wird bei einer Schulaufgabe eindeutig eine Note zugeordnet. Während diese Zuordnung eine Funktion ist, ist die umgekehrte Zuordnung keine Funktion, da nicht jeder Note eindeutig ein Schüler zugeordnet werden kann.

Deswegen:

Definition Umkehrbarkeit:

Eine Funktion heißt umkehrbar, wenn auch die umgekehrte Zuordnung wieder eindeutig ist.

• Betrachte eine Funktion $f:\mathbb {D} _{f}\longrightarrow \mathbb {W} _{f}$ mit der Zuordnungsvorschrift $x\longmapsto 3x-5$.

Dann ist die Umkehrfunktion $f^{-1}:\mathbb {D} _{f^{-1}}\longrightarrow \mathbb {W} _{f^{-1}}$ mit der Zuordnungsvorschrift $x\longmapsto {\frac {x+5}{3}}$.

• Graphisch bekommt man die Umkehrfunktion, indem man den Graphen der Funktion an der Winkelhalbierenden des I. und III. Quadranten im Koordinatensystem spiegelt.

(Siehe ACHTAU - ACHsen TAUschen: Graph der Umkehrfunktion von Jürgen Roth bei GeoGebra)

• Rechnerisch bestimmt man die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion folgendermaßen:

(1) Auflösen der Funktionsgleichung $y=f(x)$ nach $x$;

(2) Vertauschen von $x$ und $y$;

(3) Funktionsgleichung der Umkehrfunktion damit aufstellen; Es gilt: $\mathbb {D} _{f^{-1}}=\mathbb {W} _{f};\mathbb {W} _{f^{-1}}=\mathbb {D} _{f};$

Kriterium für die Umkehrbarkeit einer Funktion:

Eine streng monotone Funktion ist umkehrbar.

Falls es bei einer Funktion zu einem y-Wert mehrere zugehörige x-Werte gibt, so ist die Funktion also nicht umkehrbar!

• Aufgabenbeispiel 1:

Zeigen Sie, dass $f:x\longmapsto {\frac {5}{x-2}}$ mit $\mathbb {D} _{f}=]2;+\infty [$ umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion!

Lösung:

$f'(x)=-{\frac {5}{(x-2)^{2}}}<0$ für alle $x\in \mathbb {D} _{f}$;

Also ist $f$ streng monoton fallend und somit umkehrbar.

Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion:

$y={\frac {5}{x-2}}\Longleftrightarrow y\cdot (x-2)=5\Longleftrightarrow yx-2y=5\Longleftrightarrow yx=5+2y\Longleftrightarrow x={\frac {5+2y}{y}}$;

Nach Vertauschen von $x$ und $y$ ergibt sich: $y={\frac {5+2x}{x}}$, also $f^{-1}(x)={\frac {5+2x}{x}}$;

Betrachtung der Definitions- und Wertemengen: $\mathbb {D} _{f}=]2;+\infty [;\mathbb {W} _{f}=]0;+\infty [;$, für die Umkehrfunktion: $\mathbb {D} _{f^{-1}}=]0;+\infty [=\mathbb {W} _{f};\mathbb {W} _{f^{-1}}=]2;+\infty [=\mathbb {D} _{f};$

• Aufgabenbeispiel 2:

Zeigen Sie, dass $g:x\longmapsto -x^{2}+3$ mit $\mathbb {D} _{g}=]-\infty ;0]$ umkehrbar ist und bestimmen Sie die Umkehrfunktion!

Lösung:

$g'(x)=-2x>0$ für alle $x\in \mathbb {R} ^{-}$ und $g'(x)=0$ für $x=0$;

Also ist $g$ streng monoton steigend und somit umkehrbar.

$\mathbb {D} _{g}=]-\infty ;0];\mathbb {W} _{g}=]-\infty ;3];$;

Bestimmung des Funktionsterms der Umkehrfunktion:

$y=-x^{2}+3\Longleftrightarrow y-3=-x^{2}\Longleftrightarrow 3-y=x^{2}\Longrightarrow x=\pm {\sqrt {3-y}}$;

Nach Vertauschen von $x$ und $y$ ergibt sich: $y=-{\sqrt {3-x}}$, also $g^{-1}(x)=-{\sqrt {3-x}}$;

Das Minuszeichen vor der Wurzel wird genommen, da die Werte der Umkehrfunktion negativ oder null sind: $\mathbb {W} _{g^{-1}}=]-\infty ;0]=\mathbb {D} _{g};$.

$\mathbb {D} _{g^{-1}}=]-\infty ;3]=\mathbb {W} _{g}$;

5.3 Ableitung verketteter Funktionen / die Kettenregel

(Siehe auch Buch S. 136 und S. 137)

Manche Funktionsterme sind durch "Verschachtelung" verschiedener Funktionen entstanden. Man nennt solche Fuktionen verkettete Funktionen, da sie aus einfacheren Funktionen durch Verkettung entstehen.

• Beispiele: $f(x)=(3x-7)^{2}+1\$, $g(x)=sin(x^{2}+4x+1)\$ oder $h(x)=4+{\sqrt {sin(2x+1)}}$.

Kettenregel:

Sei $f(x)=u(v(x))\$ eine Verkettung zweier differenzierbarer Funktionen $u\$ und $v\$. Dann ist auch $f\$ differenzierbar und es gilt: $f'(x)=u'[v(x)]\cdot v'(x)\$

Das Bilden des Faktors $v'(x)\$ nennt man auch Nachdifferenzieren.

Tipp: Bei Anwendung der Kettenregel sollte man sich die Terme "verschachtelt" denken und beim Ableiten wie beim Auspacken vorgehen: Von außen nach innen schrittweise. Und bei jedem Schritt muss man einmal nachdifferenzieren.

• In unseren Beispielen:

$f'(x)=[2\cdot (3x-7)]\cdot 3=18x-42$

$g'(x)=cos(x^{2}+4x+1)\cdot (2x+4)$

$h'(x)={\frac {1}{2\cdot {\sqrt {sin(2x+1)}}}}\cdot cos(2x+1)\cdot 2$

• Weitere Beispiele:

$f(x)={\frac {3a}{1+x^{2}}};\Rightarrow f'(x)={\frac {(1+x^{2})\cdot 0-3a\cdot 2x}{(1+x^{2})^{2}}}={\frac {-6ax}{(1+x^{2})^{2}}};$ (Nur Quotientenregel)

$f(t)={\frac {a}{(bt+1)^{2}}}\Rightarrow f'(t)={\frac {(bt+1)^{2}\cdot 0-a\cdot 2(bt+1)^{1}\cdot b}{(bt+1)^{4}}}={\frac {-2ab(bt+1)}{(bt+1)^{4}}}={\frac {-2ab}{(bt+1)^{3}}};$ (In der Quotientenregel muss man hier nachdifferenzieren!)

$f(x)=sin[(ax)^{2}]\Rightarrow f'(x)=cos[(ax)^{2}]\cdot 2ax\cdot a=2a^{2}x\cdot cos[(ax)^{2}];$ (Zweimal nachdifferenzieren!)

$f(t)=t\cdot sin[(ax)^{2}]\Rightarrow f'(t)=sin[(ax)^{2}];$ (Achtung! Es wird nach t differenziert!)

Die Kettenregel - Ableitung mit der Kettenregel Differenzialrechnung Flip the Classroom bei youtube.com

5.5 Ableitung von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten

(Siehe auch Buch S. 139 und S. 140)

Wir wollen nun auch Potenzfunktionen mit Brüchen im Exponenten ableiten. Dazu gilt folgende Regel:

Sei $f(x)=a\cdot x^{\frac {p}{q}}=a\cdot {\sqrt[{q}]{x^{p}}}$. Dann ist: $f'(x)=a\cdot {\frac {p}{q}}\cdot x^{{\frac {p}{q}}-1}$

• Beispiele:

$f(x)=3x^{-{\frac {1}{4}}}\Rightarrow f'(x)=-{\frac {3}{4}}x^{-{\frac {5}{4}}}$

$g(x)=5\cdot {\sqrt[{4}]{x^{3}}}\Rightarrow g'(x)={\frac {15}{4}}x^{-{\frac {1}{4}}}$

$h(x)=k\cdot {\sqrt[{5}]{x^{p-3}}}\Rightarrow h'(x)={\frac {k\cdot (p-3)}{5}}\cdot x^{\frac {p-8}{5}}$

3 einfache Beispiele im Video Ableitungsfunktion bestimmen bei Brüchen im Exponenten (formelfabrik.de) bei youtube.com

6. Natürliche Exponential- und Logarithmusfunktionen

Zum Einstieg arbeite durch: Thema Exponentialfunktionen bei BR alpha Lernen

6.1 Die natürliche Exponentialfunktion

Untersucht man die Ableitungen der Exponentialfunktionen $y=a^{x}(a>1)$ näher, so fällt auf, dass es eine darunter geben muss, die "sich selbst als Ableitung" hat:

Die natürliche Exponentialfunktion $f(x)=e^{x}\ \ (\mathbb {D} _{f}=\mathbb {R} ;\mathbb {W} _{f}=\mathbb {R} ^{+})$ hat die Ableitung $f'(x)=e^{x}\$ und als eine mögliche Stammfunktion $F(x)=e^{x}\$.

Die Zahl $e\approx 2,718281828.....\$ heißt Eulersche Zahl und ist wie $\pi$ oder ${\sqrt {2}}$ eine irrationale Zahl. Es gilt $e=\lim _{n\to \infty }(1+{\frac {1}{n}})^{n}$.

Eulersche Zahl bei Wikipedia

• Eigenschaften der e-Funktion $f(x)=e^{x}$

Definitionsmenge: $\mathbb {D} _{f}=\mathbb {R}$, Wertemenge: $\mathbb {W} _{f}=\mathbb {R} ^{+}$

Der Graph der e-Funktion ist streng monoton steigend.

$e^{0}=1$

$\lim _{x\to -\infty }e^{x}=0$

Für $x\to +\infty$ geht $e^{x}\to +\infty$

Funktionalgleichungen (Potenzgesetze):

$e^{a}\cdot e^{b}=e^{a+b}$

${\frac {e^{a}}{e^{b}}}=e^{a-b}$

$(e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}$

Da die ln-Funktion die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist, gilt:

$e^{lnx}=x=ln(e^{x})$

Kurvendiskussion mit e-Funktion von mathegym bei Youtube.com

Video Die e-Funktion und ihre Ableitung von Flip the Classroom bei youtube.com

Grundwissen zur natürlichen Exponentialfunktion bei strobl-f.de

Übungsaufgaben zur e-Funktion bei strobl-f.de

6.2 Die natürliche Logarithmusfunktion

Zur Wiederholung siehe folgende drei Lernvideos:

Logarithmus bei unterricht.de

Logarithmenregeln bei unterricht.de

Logarithmus im Exponenten bei unterricht.de

Definition:

Die Logarithmusfunktion zur Basis $e$ heißt natürliche Logarithmusfunktion. $ln(x)=log_{e}(x)$ mit $\mathbb {D} _{ln}=\mathbb {R} ^{+},\mathbb {W} _{ln}=\mathbb {R}$;

Sie ist die Umkehrfunktion zur natürlichen Exponentialfunktion.

• Eigenschaften der ln-Funktion

Definitionsmenge: $\mathbb {D} _{ln}=\mathbb {R} ^{+}$, Wertemenge: $\mathbb {W} _{ln}=\mathbb {R}$

Der Graph der ln-Funktion ist streng monoton steigend.

$ln(1)=0$

$ln(e)=1$

Für $x\to 0$ geht $ln(x)\to -\infty$

Für $x\to +\infty$ geht $ln(x)\to +\infty$

Funktionalgleichungen (Logarithmengesetze):

$ln(a\cdot b)=ln(a)+ln(b)$

$ln({\frac {a}{b}})=ln(a)-ln(b)$

$ln(a^{r})=r\cdot ln(a)$

Da die ln-Funktion die Umkehrfunktion zur e-Funktion ist, gilt:

$e^{lnx}=x=ln(e^{x})$

Ableitung der ln-Funktion:

$(ln(x))'={\frac {1}{x}}$

Stammfunktion der ln-Funktion:

$(x\cdot ln(x)-x)'=ln(x)$

Grundwissen zur natürlichen Logarithmusfunktion bei strobl-f.de

Übungsaufgaben zur ln-Funktion bei strobl-f.de

Natürliche Logarithmusfunktion - Log Naturalis von StrandMathe bei YouTube.com

6.3 Wichtige Grenzwerte im Zusammenhang mit natürlicher Exponential- und Logarithmusfunktion

Die natürliche Exponentialfunktion wächst für $x\to +\infty$ "schneller" als jede Potenz $x^{r}\$ mit $r\in \mathbb {R} ^{+}\$:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {x^{r}}{e^{x}}}=0$

Umgekehrt wächst die natürliche Logarithmusfunktion für $x\to +\infty$ "langsamer" als jede Potenz $x^{r}\$ mit $r\in \mathbb {R} ^{+}\$:

$\lim _{x\to +\infty }{\frac {ln(x)}{x^{r}}}=0$

Außerdem kann man zeigen, dass gilt:

$\lim _{x\to 0}x^{r}\cdot ln(x)=0$

7. STOCHASTIK: Wahrscheinlichkeit und Unabhängigkeit

Zum Einstieg wiederhole:

Grundwissen 8. Klasse zu Wahrscheinlichkeiten, Laplace-Experimente bei strobl-f.de

Grundwissen 9. Klasse zu mehrstufigen Zufallsexperimenten bei strobl-f.de

Grundwissen 10. Klasse zur bedingten Wahrscheinlichkeit bei strobl-f.de

In der Stochastik wird anhand einer realen Situation ein mathematisches Modell entwickelt, mit dem man Berechnungen durchführen kann und dessen Ergebnis dann in der Realität eine Bedeutung im Hinblick auf die reale Situation hat.

(Siehe dazu Beispiel "Pyramide liegt auf einer Seitenfläche" im Modellierungskreislauf im Buch S. 175)

7.1 Axiomatische Definition von Wahrscheinlichkeit

Ausgehend von wenigen, grundlegenden Aussagen bzw. Festlegungen ("Axoime"), kann man die Wahrscheinlichkeitsrechnung lückenlos formulieren und komplett beweisen.

Der russische Mathematiker Kolmogorow hat so ein Axiomensystem zur Definition des Wahrscheinlichkeitsbegriffs aufgestellt:

Sei $\Omega$ eine (Ergebnis-) Menge und $A$ eine Teilmenge (Ereignis) davon. Dann heißt eine Funktion $P:\Omega \to \mathbb {R} ,A\mapsto P(A)$ Wahrscheinlichkeitsverteilung, wenn sie folgende Axoime erfüllt: (I) $P(A)\geq 0\$ (Nicht-Negativität) (II) $P(\Omega )=1\$ (Normiertheit) (III) Für $A\cap B=\{\}$ gilt: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$ (Additivität)

$P(A)\$ heißt Wahrscheinlichkeit vom Ereignis $A$.

$(\Omega ,P)\$ wird auch Wahrscheinlichkeitsraum genannt.

Video Q11 - Axiomatischer Wahrscheinlichkeitsbegriff nach Kolmogoroff von MatheEasyGoing bei youtube.com

7.2 Der Ereignisraum

Siehe Der Ereignisraum - eine Übersicht zur Ereignis-Algebra

7.3 Der Additionssatz für Wahrscheinlichkeiten von Ereignissen

Zum Einstieg ein Lernvideo: Additionssatz und Vierfeldertafel - Mathe - SchullV bei YouTube.com

Für beliebige Ereignisse $A,B\subseteq \Omega$ gilt der Additionssatz:

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)$

Oder umgestellt: $P(A\cap B)=P(A)+P(B)-P(A\cup B)$

Für zwei unvereinbare (disjunkte) Ereignisse $A,B$ (für die $A\cap B=\{\}$ gilt), ist also: $P(A\cup B)=P(A)+P(B)$.

7.4 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen

Hat (1) das Eintreten von Ereignis $A$ keinen Einfluss auf das Eintreten von Ereignis $B$

und umgekehrt

das (2) Eintreten von Ereignis $B$ keinen Einfluss auf das Eintreten von Ereignis $A$,

so sind beide Ereignisse (stochastisch) unabhängig.

Oder mathematisch kurz formuliert:

Ist (1) $P(B)=P_{A}(B)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}$

und (2) $P(A)=P_{B}(A)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}$,

so sind beide Ereignisse $A,B$ (stochastisch) unabhängig.

Aus (1) und (2) ergibt sich folgende

Definition stochastische Unabhängigkeit:

Zwei Ereignisse $A,B\subseteq \Omega$ heißen (stochatisch) unabhängig, wenn $P(A)\cdot P(B)=P(A\cap B)$ gilt. Andernfalls heißen die beiden Ereignisse (stochastisch) abhängig voneinander.

Zum besseren Verständnis ein Lernvideo: Ereignisse auf stochastische Abhängigkeit prüfen von Mathehoch13 bei YouTube.com

8. Anwendungen der Differentialrechnung

Zur Übung empfehlenswert: Abituraufgaben Bayern 2020, 2019 und 2018, jeweils Teil B Analysis (soweit mit dem Stoff der Q11 lösbar).

Diese Aufgaben mit Lösung finden sich zum Beispiel bei abiturloesung.de.

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