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Grundwissen Mathematik 7. Klasse

Diese Fassung muss noch überarbeitet werden!!!

GWM 7.1 Achsensymmetrie

Abbildungsvorschrift der Achsenspiegelung:

Liegen die Punkte und achsensymmetrisch bzgl. der Achse , so gilt:

  • ist senkrecht zu    
  • wird von halbiert.    
  • Liegt auf der Achse, so ist er mit seinem Spiegelpunkt identisch.    

Weitere Eigenschaften der Achsenspiegelung:

  • Zueinander symmetrische Strecken sind gleich lang.    
  • Zueinander symmetrische Winkel sind gleich groß.    
  • Der Umlaufsinn von Figuren ändert sich.
  • Zueinander symmetrische Geraden schneiden sich auf der Achse oder sind parallel
  • Speziell: , wenn
  • Die Schnittpunkte zweier (großer) symmetrischer Kreise liegen auf der Achse.

GWM 7.2 Konstruktionen

Konstruktionen der Achsenspiegelung:

  • Spiegelpunkt konstruieren

Spiegelpunktkonstruieren.jpg

Wähle zwei beliebige Punkte und auf der Achse . Die Kreise und schneiden sich in und .

  • Achse konstruieren

Achsekonstruieren.jpg

Zeichne zwei Kreise durch und mit beliebigem (genügend großem), aber gleich großem Radius. Durch die Schnittpunkte der Kreise ist die Achse eindeutig festgelegt.

Konstruktionen mit Hilfe der Achsenspiegelung:

  • Winkelhalbierende:

Winkelhalbierendekonstruieren.jpg

Der Kreis um mit beliebigem Radius schneidet die Schenkel in den Punkten und .Die Symmetrieachse, die auf abbildet und fest lässt ist die Winkelhalbierende.

  • Mittelsenkrechte zu :

Mittelsenkrechtekonstruieren.jpg

Die Kreis um und mit gleichem (genügend großem) Radius schneiden sich in zwei Punkten, die die Mittelsenkrechte eindeutig festlegen.

  • Lot zu durch fällen

Konstruiere den Spiegelpunkt zu zur Achse . ist das Lot zu .

  • Senkrechte in zu errichten

Bestimme zwei beliebige Punkte und auf , die von den gleichen Abstand haben. Die Achse , die auf abbildet (und auch noch durch ) geht ist die Senkrechte zu .

GWM 7.3 Punktsymmetrie

Abbildungsvorschrift der Punktspiegelung:

Liegen die Punkte P und P’ punktsymmetrisch bzgl. des Punktes Z (Zentrum der Spiegelung), so gilt:

  • P und P’ sind gleich weit von Z entfernt.
  • P, P’ und Z liegen auf einer Geraden.
  • Sind P und P’ identisch, so ist P das Zentrum.

GWM 7.4 Vierecke

Symmetrische Vierecke

Symmetrischevierecke.jpg



GWM 7.5 Winkel

Scheitel- und Nebenwinkel

Scheitelwinkel: und ; und

Nebenwinkel: und ; und

Scheitelundnebenwinkel.jpg

Scheitelwinkel sind gleich groß, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180°.


Wechselwinkel, Stufenwinkel, Nachbarwinkel

Wechselwinkel (Z-Winkel): und , und , und , und

Stufenwinkel (F-Winkel): und , und , und , und

Nachbarwinkel (Ergänzungswinkel): und , und

Wechselstufennachbarwinkel.jpg

Die Geraden g und h sind genau dann parallel, wenn Wechsel- und Stufenwinkel gleich groß sind, Nachbarwinkel sich zu 180° ergänzen.


Innenwinkelsumme

Im Dreieck beträgt die Innenwinkelsumme 180°, im Viereck 360°.

Innenwinkelsumme.jpg

GWM 7.6 Terme

Treten in einem Term (Rechenausdruck) verschiedene Variablen (Platzhalter) auf, so dürfen diese mit verschiedenen oder gleichen Zahlen aus der Grundmenge G belegt werden. Man berechnet somit den zugehörigen Termwert.

Zwei Terme heißen äquivalent, wenn sich für alle möglichen Einsetzungen jeweils gleiche Termwerte ergeben. Terme lassen sich durch Termumformungen in äquivalente Terme umwandeln.

Termumformungen:

  • Rechengesetze: Assoziativgesetz, Kommutativgesetz, Distributivgesetz (siehe GWM 5.4.)

Klammern auflösen

  • Plusklammer: Steht vor einer Klammer ein Pluszeichen, so kann die Klammer weggelassen werden.
  • Minusklammer: Steht von einer Klammer ein Minuszeichen, so müssen beim Weglassen der Klammer alle Vorzeichen vertauscht werden. Beispiel: a – (b + c) = a – b – c

Ausmultiplizieren

  • Zwei Summen werden multipliziert, indem man jeden Summanden der ersten Klammer mit jedem Summanden der zweiten Klammer multipliziert (Vorzeichen!) und die Produkte addiert.

Beispiel: (a + b)(c +d) = ac +ad +bc +bd

  • Binomische Formeln

Fakorisieren

  • Durch Ausklammern gemeinsamer Faktoren oder mit Hilfe der binomischen Formeln kann man Summen in Produkte verwandeln

GWM 7.7 Gleichungen

Wenn man in eine Gleichung an Stelle der Variablen eine Zahl einsetzt, so kann sich eine wahre oder eine falsche Aussage ergeben. In der Lösungsmenge L einer Gleichung sind alle Zahlen aus der Grundmenge G enthalten, die in die Gleichung eingesetzt, eine wahre Aussage ergeben. Eine lineare Gleichung hat entweder genau eine Zahl oder keine Zahl (L = { }) oder alle Zahlen (L = G) der Grundmenge als Lösung.

Äquivalenzumformungen: Äquivalenzumformungen ändern die Lösungsmenge L einer Gleichung nicht. Äquivalenzumformungen sind: Ø Zu (Von) beiden Seiten der Gleichung eine Zahl oder Term addieren (subtrahieren). Ø Beide Seiten der Gleichung mit (durch) einer (eine) Zahl (¹ 0) multiplizieren (dividieren).

GWM 7.8 Daten, Diagramme

Das arithmetische Mittel (Durchschnitt) einer Datenreihe erhält man, indem man alle Werte addiert und den Summenwert durch die Anzahl der Summanden dividiert.

Verschiedene Diagrammtypen:

Saeulenbalkendiagramm.jpg

Linienkreisdiagramm.jpg

GWM 7.9 Kongruenz und Dreiecke

Dreieck sind deckungsgleich (kongruent) bzw. eindeutig konstruierbar, wenn sie in folgenden Größen (Seiten und Winkeln) übereinstimmen bzw. folgende Größen gegeben sind: SSS – Satz: Drei Seiten SWS – Satz: Zwei Seiten und der dazwischen liegende Winkel SsW – Satz: Zwei Seiten und der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel WWS – Satz: Zwei Winkel und eine Seite


GWM 7.10 Transversalen im Dreieck

Seitenhalbierende (Mitte der Seite und gegenüberliegende Ecke) Alle Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt, dem Schwerpunkt S

Winkelhalbierende (Winkelhalbierende eines Innenwinkels) Alle Winkelhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt, dem Inkreismittelpunkt .

Mittelsenkrechte (Senkrechte zum Mittelpunkt einer Seite errichten) Alle Mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt, dem Umkreis- mittelpunkt .

Höhe (Lot von Ecke auf gegenüberliegende Seite fällen) Alle Höhen eines Dreiecks schneiden sich in genau einem Punkt H.

Transversalenimdreieck.jpg

GWM 7.11 Besondere Dreiecke

Gleichschenkliges Dreieck:

Dreiecke mit zwei gleich langen Seiten (Schenkeln) heißen gleichschenklig. Die dritte Seite heißt Basis. Eigenschaften: Ø Das Dreieck hat zwei gleich lange Seiten. Ø Das Dreieck hat zwei gleich große Winkel (Basiswinkel). Ø Das Dreieck ist achsensymmetrisch.

Gleichschenkligesdreieck.jpg

Gleichseitiges Dreieck:

Dreiecke mit drei gleich langen Seiten heißen gleichseitig. Eigenschaften: Ø Das Dreieck hat drei gleich lange Seiten. Ø Das Dreieck hat drei gleich große Winkel (= 60°). Ø Das Dreieck hat drei Symmetrieachsen.

Gleichseitigesdreieck.jpg

Rechtwinkliges Dreieck:

Dreiecke mit einem 90°-Winkel heißen rechtwinklig. Eigenschaften: Ø Das Dreieck hat einen 90°-Winkel. Ø Der Umkreis des Dreiecks ist der Thaleskreis.

Rechtwinkligesdreieck.jpg

Web-Links

SMART-Aufgaben-Datenbank



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