Abstand zweier windschiefer Geraden

Gegeben sind zwei windschiefe Geraden: $g:{\vec {x}}={\vec {a}}+\lambda {\vec {b}}\ ;\qquad h:{\vec {x}}={\vec {c}}+\mu {\vec {d}}\ ;$

Gesucht ist der Abstand $d(g;h)=|{\overrightarrow {UV}}|$

wobei $\ U$ der Fußpunkt auf der Geraden $\ g$ und $\ V$ der Fußpunkt auf der Geraden $\ h$ bezüglich des gemeinsamen Lotes der beiden Geraden ist:

Es muss dabei für den gemeinsamen Normalenvektor ${\vec {n}}$ gelten:

${\vec {n}}\circ {\vec {b}}=0\ ;\qquad {\vec {n}}\circ {\vec {d}}=0\ ;(\ast )$

Man bildet eine geschlossene Vektorkette:

${\overrightarrow {AC}}+\mu {\vec {d}}-{\overrightarrow {UV}}-\lambda {\vec {b}}={\vec {0}}\ ;$

Mit ${\overrightarrow {UV}}=\sigma {\vec {n}}$ und nach Skalarproduktbildung mit ${\vec {n}}$ auf beiden Seiten der Gleichung ergibt sich:

${\overrightarrow {AC}}\circ {\vec {n}}+\mu {\vec {d}}\circ {\vec {n}}-\sigma {\vec {n}}\circ {\vec {n}}-\lambda {\vec {b}}\circ {\vec {n}}=0\ ;$

Mit $(\ast )$ vereinfacht sich dies zu:

${\overrightarrow {AC}}\circ {\vec {n}}-\sigma {\vec {n}}\circ {\vec {n}}=0\ ;$

Daraus erhält man leicht $\sigma$ und damit ${\overrightarrow {UV}}=\sigma {\vec {n}}$ und somit auch den gesuchten Abstand $d(g;h)=|{\overrightarrow {UV}}|$

Beispiel:

$g:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}0\\-2\\2\end{pmatrix}}+\lambda {\begin{pmatrix}4\\3\\-2\end{pmatrix}}\ ;\qquad h:{\vec {x}}={\begin{pmatrix}2\\4\\1\end{pmatrix}}+\mu {\begin{pmatrix}0\\1\\2\end{pmatrix}}\ ;$

${\overrightarrow {AC}}={\begin{pmatrix}2\\6\\-1\end{pmatrix}}\ ;\qquad {\vec {n}}={\begin{pmatrix}2\\-2\\1\end{pmatrix}}\ ;$

${\overrightarrow {AC}}\circ {\vec {n}}=4-12-1=-9\ ;$

${\vec {n}}\circ {\vec {n}}=4+4+1=9\ ;$

${\overrightarrow {AC}}\circ {\vec {n}}-\sigma {\vec {n}}\circ {\vec {n}}=-9-9\sigma \ ;$

$0=-9-9\sigma \ ;$

$\sigma =-1\ ;\qquad {\overrightarrow {UV}}={\begin{pmatrix}-2\\2\\-1\end{pmatrix}}\ ;$

$d(g;h)=|{\overrightarrow {UV}}|={\sqrt {9}}=3\ ;$

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