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2015-09-25T06:11:42Z

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[[Bild:Mathematiklogo.jpg|link=Grundwissen Mathematik|right]]
=[[Grundwissen Mathematik]] 5. Klasse=

==GWM 5.1 Zahlenmengen==

<math>\mathbb{N} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12, ...\} </math> '''Menge der natürlichen Zahlen'''

<math>\mathbb{N}_{0} = \{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11, ...\} </math> '''Menge der natürlichen Zahlen mit Null'''

<math>\mathbb{Z} = \{... -4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4, ...\} </math> '''Menge der ganzen Zahlen'''

'''Primzahlen''': Eine Zahl die genau zwei Teiler hat, heißt '''Primzahl'''.

'''Menge der Primzahlen''' <math> = \{2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, \ </math>

<math> 73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, ... \} \ </math>

'''Primfaktorzerlegung''': Jede Zahl lässt sich eindeutig in ein Produkt von Primzahlen zerlegen.

Beispiel: <math>60 = 2\cdot 30 = 2\cdot 2\cdot 15 = 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5 = 2^{2}\cdot 3\cdot 5</math>

'''Menge der Quadratzahlen''' <math> = \{1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, \ </math>

<math> 324, 361, 400, 441, 484, 529, 576, 625, ... \} \ </math>

'''Römische Zahlen''': <math>I = 1 ;\ V = 5 ;\ X = 10 ;\ L = 50;\ C = 100;\ D = 500;\ M = 1000 </math>

<math> I,\ X,\ C,\ M </math> dürfen bis zu dreimal nacheinander stehen. <math> I,\ X,\ C </math> werden beim Voranstellen einmal abgezogen.

Beispiel: <math> MCMXCIV = 1994;\ MMMDCCCLXXXVIII = 3888 </math>

==GWM 5.2 Fachbegriffe beim Rechnen==

'''Addition''':

<math> \begin{matrix} 171 & + & 19 & = & 190 \\
{\rm 1.\ Summand} & + & {\rm 2.\ Summand} & = & {\rm Wert\ der\ Summe} \end{matrix} </math>

'''Subtraktion''':

<math> \begin{matrix} 190 & - & 19 & = & 171 \\
{\rm Minuend} & - & {\rm Subtrahend} & = & {\rm Wert\ der\ Differenz} \end{matrix} </math>

'''Multiplikation''':

<math> \begin{matrix} 125 & \cdot & 8 & = & 1000 \\
{\rm 1.\ Faktor} & \cdot & {\rm 2.\ Faktor} & = & {\rm Wert\ des\ Produkts} \end{matrix} </math>

'''Division''':

<math> \begin{matrix} 1000 & : & 8 & = & 125 \\
{\rm Dividend} & : & {\rm Divisor} & = & {\rm Wert\ des\ Quotienten} \end{matrix} </math>

==GWM 5.3 Potenzen==

'''Potenz''': <math> a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a \cdot a = a^{6} </math>

Beispiel: <math> 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 \cdot 4 = 4^{7} </math>

'''Merke''': <math> 2^{3} = 8 \ </math> aber <math> 2 \cdot 3 = 6 </math>

'''Potenz''':

<math> \begin{matrix} 3^{5} & = & 243 \\
{\rm Basis}^{\rm Exponent} & = & {\rm Wert\ der\ Potenz} \end{matrix} </math>

==GWM 5.4 Rechengesetze und die Bedeutung der Null==

'''Reihenfolge''': „Klammer vor Potenz vor Punkt vor Strich!“

Was noch nicht zum Rechnen dran ist, schreibt man unverändert an!

'''Kommutativgesetz''':

<math> a \cdot b = b \cdot a \qquad 5 \cdot 3 = 3 \cdot 5 </math>

<math> a + b = b + a \qquad 5 + 3 = 3 + 5 </math>

'''Assoziativgesetz''':

<math> (a + b) + c = a + (b + c) = a + b + c \qquad (2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5) = 2 + 3 + 5 </math>

<math> (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = a \cdot b \cdot c \qquad (2 \cdot 3) \cdot 5 = 2 \cdot (3 \cdot 5) = 2 \cdot 3 \cdot 5 </math>

'''Distributivgesetz''':

<math> a \cdot (b+c) = a \cdot b + a \cdot c \qquad 2 \cdot (5+3) = 2 \cdot 5 + 2 \cdot 3 </math>

<math> a \cdot (b-c) = a \cdot b - a \cdot c \qquad 2 \cdot (5-3) = 2 \cdot 5 - 2 \cdot 3 </math>

<math> (a+b) : c = a : c + b : c \qquad (170+51) : 17 = 170 : 17 + 51 : 17 </math>

<math> (a-b) : c = a : c - b : c \qquad (170-51) : 17 = 170 : 17 - 51 : 17 </math>

'''Null bei der Multiplikation''':

Ist ein Faktor Null, so ist auch der Produktwert Null. <math> 3 \cdot 0 = 0 \cdot 3 = 0 </math>

Ist der Produktwert Null, so muss mindestens ein Faktor Null sein!

Aus <math> a \cdot b = 0 </math> folgt: <math> a = 0 \ </math> oder <math> \ b = 0 </math>.

'''Null bei der Division''':

Allgemein: <math> 0 : a = 0 \quad (a \neq 0) \qquad 0 : 5 = 0 </math>

'''Die Division durch Null ist nicht erlaubt!'''

==GWM 5.5 Ganze Zahlen==

'''Zahlengerade''':

[[Bild:Zahlengerade.png|left]]

<br clear=all>

'''Betrag''': Der Betrag einer Zahl ist ihre Entfernung vom Nullpunkt.

Beispiel: <math>| -4 | = 4; \ | 4 | = 4 </math>

Zahlen, die gleichen Betrag aber verschiedene Vorzeichen haben, heißen '''Gegenzahlen'''.

Beispiel: <math> 4 \leftrightarrow -4; \ 3 \leftrightarrow -3 </math>

==GWM 5.6 Rechnen mit ganzen Zahlen: Addition und Subtraktion==

<math> (+11) + (-4) = 11 - 4 = 7 \ </math>
[[Bild:11minus41.png]]

<math> (+11) - (+4) = 11 - 4 = 7 \ </math>
[[Bild:11minus42.png]]

<math> 5 + (+3) = 5 + 3 = 8 \qquad -5 + (+3) = -5 + 3 = -2 </math>
<math> 5 + (-3) = 5 - 3 = 2 \qquad -5 + (-3) = -5 - 3 = -8 </math>
<math> 5 - (+3) = 5 - 3 = 2 \qquad -5 - (+3) = -5 - 3 = -8 </math>
<math> 5 - (-3) = 5 + 3 = 8 \qquad -5 - (-3) = -5 + 3 = -2 </math>

==GWM 5.7 Rechnen mit ganzen Zahlen: Multiplikation und Division==

'''Regel''': Gleiche Vorzeichen ergeben beim Multiplizieren und Dividieren "<math> +\ </math>", ungleiche "<math> -\ </math>".

<math> 3 \cdot (+5) = 15 \quad 15 : (+5) = 3 \quad -3 \cdot (+5) = -15 \quad -15 : (+5) = -3 </math>

<math> 3 \cdot (-5) = -15 \quad 15 : (-5) = -3 \quad -3 \cdot (-5) = 15 \quad -15 : (-5) = 3 </math>

==GWM 5.8 Größen und Maßstab==

'''Länge''':

Umrechnungszahl <math> 10\ </math>, Ausnahme: <math> 1~km = 1000~m;\ </math>

<math> \begin{matrix}1~m = 10~dm;\quad \ & 1~dm = 10~cm; & 1~cm = 10~mm; \qquad \qquad \ \ \\
1~m = 0,001~km; & 1~dm = 0,1~m; & 1~cm = 0,1~dm = 0,01~m; \end{matrix} </math>

<math> 1~mm = 0,1~cm = 0,01~dm = 0,001~m;\ </math>

'''Fläche''':

Umrechnungszahl <math> 100\ </math>, Achtung: <math> 1~km^{2} = 1~km \cdot 1~km = 1000~m \cdot 1000~m = 1000000~m^{2} </math>

<math> \begin{matrix}1~km^{2} = 100~ha; & 1~ha = 100~a; \quad \ \ & 1~a = 100~m^{2}; \qquad \qquad \qquad \quad \\
& 1~ha = 0,01~km^{2}; & 1~a = 0,01~ha = 0,0001~km^{2}; \end{matrix} </math>

<math> \begin{matrix}1~m^{2} = 100~dm^{2};\qquad \qquad \quad & 1~dm^{2} = 100~cm^{2}; & 1~cm^{2} = 100~mm^{2}; \\
1~m^{2} = 0,01~a = 0,0001~ha; & 1~dm^{2} = 0,01~m^{2}; & 1~cm^{2} = 0,01~dm^{2}; \end{matrix} </math>

<math> 1~mm^{2} = 0,01~cm^{2}; </math>

'''Masse''':

Umrechnungszahl <math> 1000\ </math>

<math> \begin{matrix}1~t = 1000~kg; & 1~kg = 1000~g; & 1~g = 1000~mg; & \\
& 1~kg = 0,001~t; & 1~g = 0,001~kg; & 1~mg = 0,001~g; \end{matrix} </math>

'''Zeit''':

<math> 1~a = 365~d; \quad 1~d = 24~h; \quad 1~h = 60~min; \quad 1~min = 60~s; </math>

'''Maßstab''':

Der Maßstab <math> 1 : 100 \ </math> (lies 1 zu 100) bedeutet: <math> 1~cm </math> in der Zeichnung entspricht <math> 100~cm </math> in der Wirklichkeit.

Beispiel:

Eine <math> 5~cm </math> lange Strecke in einer Karte mit dem Maßstab <math> 1 : 250000 \ </math> entspricht in der Wirklichkeit <math> 5 \cdot 250000~cm = 1250000~cm = 12500~m = 12,5~km </math>.

==GWM 5.9 Kreis Vierecke==

[[Bild:Kreis.jpg|left]]

Alle Punkte, die von einem Punkt M aus gleich weit entfernt sind,
liegen auf einem '''Kreis'''.

<br clear=all>

[[Bild:Vierecke.jpg]]

==GWM 5.10 Körper==

[[Bild:Körper.jpg]]

==GWM 5.11 Umfang, Flächeninhalt, Oberflächen==

{| border="0" cellspacing="5" cellpadding="5"
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10"
| '''Umfang des Rechtecks''':
| <math> U_{R} = 2 \cdot (l + b) \qquad </math>
|}
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10"
| '''Umfang des Quadrates''':
| <math> U_{Q} = 4 \cdot a </math>
|}
|-
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10"
| '''Flächeninhalt des Rechtecks''':
| <math> A_{R} = l \cdot b </math>
|}
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10"
| '''Flächeninhalt des Quadrates''':
| <math> A_{Q} = a^{2} \ </math>
|}
|-
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10"
| '''Oberfläche des Quaders''':
| <math> O_{Q} = 2 \cdot (l \cdot b + l \cdot h + b \cdot h) </math>
|}
|
{| border="1" cellspacing="0" cellpadding="10"
| '''Oberfläche des Würfels''':
| <math> O_{W} = 6 \cdot a^{2} \ </math>
|}
|}

'''Netz des Quaders''': [[Bild:NetzQuader.jpg]]

==GWM 5.12 Strecken, Geraden, Winkel==
Eine '''Strecke''' ist die kürzeste Verbindung zweier Punkte.

Die Schreibweise <math> [AB] \quad </math> steht für die Strecke von A nach B.

Der Abstand von Anfangs- und Endpunkt ist die '''Länge der Strecke'''.

Mit der Schreibweise <math> \overline{AB} = 5~cm \quad </math> gibt man die Länge der Stecke an.

Verlängert man eine Strecke über einen Punkt bzw. über beide Punkte hinaus, so einsteht eine '''Halbgerade''' bzw. '''Gerade'''.

Beispiele:

[[Bild:Streckengeraden.jpg]]

[[Bild:Senkrechtparallel.jpg]]

g ist '''parallel''' zu h: <math> g \| h </math>. g ist '''senkrecht''' zu l (g ist Lot zu l): <math> g \perp l </math>

Der '''Abstand''' d eines Punktes P von einer Geraden ist die Länge der senkrechten Verbindungsstrecke.

Zwei Halbgeraden mit demselben Anfangspunkt S teilen die Ebene in zwei Teile. Jeder Teil (mit Rand) heißt '''Winkel'''.

[[Bild:Winkel.jpg]]

Bezeichnungen: <math> \angle (g,h)</math> oder <math> \angle ASB</math> oder kleine griechische Buchstaben:

<math> \alpha \ </math> alpha, <math> \beta \ </math> beta, <math> \gamma \ </math> gamma, <math> \delta \ </math> delta, <math> \epsilon \ </math> epsilon, <math> \eta \ </math> eta, <math> \vartheta \ </math> theta, <math> \mu \ </math> my, <math> \sigma \ </math> sigma, <math> \tau \ </math> tau, <math> \varphi \ </math> phi, <math> \omega \ </math> omega

'''Winkelarten''':
*Nullwinkel: <math> \alpha = 0^{o} </math>
*spitze Winkel: <math> 0^{o} < \alpha < 90^{o} </math>
*rechter Winkel: <math> \alpha = 90^{o} </math>
*stumpfe Winkel: <math> 90^{o} < \alpha < 180^{o} </math>
*gestreckter Winkel: <math> \alpha = 180^{o} </math>
*überstumpfe Winkel: <math> 180^{o} < \alpha < 360^{o} </math>

==GWM 5.13 Koordinatensystem==

[[Bild:Koordinatensystem.jpg|right]]

Ein Koordinatensystem besteht aus zwei senkrechten Zahlenstrahlen mit gemeinsamem Nullpunkt.
Die x-Achse heißt auch Abszisse, die y-Achse auch Ordinate.

Ein Punkt P(x/y) ist durch seine Koordinaten festgelegt.

Die Ebene wird in vier Quadranten unterteilt.

<br clear=all>

==GWM 5.14 Zählprinzip, Baumdiagramm==

[[Bild:Baumdiagramm.jpg|right]]

Veranschaulichung am '''Baumdiagramm''':

Jeder Pfad durch den Baum steht für eine Kombinationsmöglichkeit.

Hat die erste Verzeigung <math>n \ </math> Äste und die zweite <math>m \ </math> Äste, so gibt es <math>n \cdot m </math> Möglichkeiten.

Beispiel:

Es gibt rote (r), grüne (g) und blaue (b) Schuluniformen. Sie sind als T-Shirt T oder Sweatshirt S erhältlich.
Es gibt <math>3 \cdot 2 = 6 </math> Möglichkeiten, nämlich:
rT, gT, bT, rS, gS, bS.

==Web-Links==
[http://smart.uni-bayreuth.de/ SMART-Aufgaben-Datenbank]

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GWM5 - Versionsgeschichte

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