Ba2282 am 16. April 2013 um 08:24 Uhr

2013-04-16T08:24:44Z

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Gegeben sind zwei windschiefe Geraden: <math>g: \vec x = \vec a + \lambda \vec b \ ; \qquad h: \vec x = \vec c + \mu \vec d \ ;</math>

Gesucht ist der Abstand <math>d(g;h)=|\overrightarrow {UV}|</math>

wobei <math>\ U</math> der Fußpunkt auf der Geraden <math>\ g</math> und <math>\ V</math> der Fußpunkt auf der Geraden <math>\ h</math> bezüglich des gemeinsamen Lotes der beiden Geraden ist:

[[Bild:Windschiefegeraden.jpg|600px]]

Es muss dabei für den gemeinsamen Normalenvektor <math>\vec n</math> gelten:

<math>\vec n \circ \vec b = 0 \ ; \qquad \vec n \circ \vec d = 0 \ ; (\ast)</math>

Man bildet eine geschlossene Vektorkette:

<math>\overrightarrow {AC} + \mu \vec d - \overrightarrow {UV} - \lambda \vec b = \vec 0 \ ;</math>

Mit <math>\overrightarrow {UV} = \sigma \vec n</math> und nach Skalarproduktbildung mit <math>\vec n</math> auf beiden Seiten der Gleichung ergibt sich:

<math>\overrightarrow {AC} \circ \vec n + \mu \vec d \circ \vec n - \sigma \vec n \circ \vec n - \lambda \vec b \circ \vec n = 0 \ ;</math>

Mit <math>(\ast)</math> vereinfacht sich dies zu:

<math>\overrightarrow {AC} \circ \vec n - \sigma \vec n \circ \vec n = 0 \ ;</math>

Daraus erhält man leicht <math>\sigma</math> und damit <math>\overrightarrow {UV} = \sigma \vec n</math> und somit auch den gesuchten Abstand <math>d(g;h)=|\overrightarrow {UV}|</math>

'''Beispiel''':

<math>g: \vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \\ 2 \end{pmatrix} + \lambda \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix} \ ; \qquad h: \vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} + \mu \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} \ ;</math>

<math>\overrightarrow {AC} = \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ -1 \end{pmatrix} \ ; \qquad \vec n = \begin{pmatrix} 2 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} \ ;</math>

<math>\overrightarrow {AC} \circ \vec n = 4 - 12 - 1 = -9 \ ;</math>

<math>\vec n \circ \vec n = 4 + 4 + 1 = 9 \ ;</math>

<math>\overrightarrow {AC} \circ \vec n - \sigma \vec n \circ \vec n = -9 - 9 \sigma \ ;</math>

<math>0 = -9 - 9 \sigma \ ;</math>

<math>\sigma = -1 \ ; \qquad \overrightarrow {UV} = \begin{pmatrix} -2 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix} \ ;</math>

<math>d(g;h)=|\overrightarrow {UV}| = \sqrt{9} = 3 \ ;</math>

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Abstand zweier windschiefer Geraden - Versionsgeschichte

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